Το βιβλίο αυτό απευθύνεται σε μαθητές που φοιτούν στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση και συμμετέχουν σε μαθηματικούς διαγωνισμούς. Επίσης, σε Μαθηματικούς ή και λάτρεις των Μαθηματικών.
Η πολλών ετών εμπειρία μου στη διδασκαλία υψηλού επιπέδου Μαθηματικών,
οδήγησε στη δημοσίευση του πρώτου τόμου, ο οποίος περιέχει:
Άλγεβρα
Συνδυαστική – Πιθανότητες
Προβλήματα Λογικής
Θα επακολουθήσει ο δεύτερος τόμος «ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ»,
ο τρίτος τόμος «ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» και
ο τέταρτος τόμος «ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ».
Καθώς ο τόμος αυτός απευθύνεται κυρίως σε μαθητές με αυξημένες λογικομαθηματικές επιδόσεις, επέλεξα να παρουσιάζω τα θέματα σύντομα, αλλά και ελκυστικά, ώστε να μην κουράζουν δευτερεύουσες αναφορές.
Η θεωρία συνοδεύεται από αντιπροσωπευτικά παραδείγματα και ακολουθούν
ασκήσεις. Στο τέλος του βιβλίου ο αναγνώστης θα βρει σύντομες λύσεις των ασκή-σεων, προς έλεγχο της ορθότητας της δικής του λύσης.
Τέλος, στις ασκήσεις συμπεριλαμβάνονται πολλά θέματα ελληνικών και διεθνών Μαθηματικών Διαγωνισμών.
Πρόλογος …………………………………………………………………………………………………………….. 5
Κεφάλαιο 1ο: ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ……………………………………………………….. 7
1.1 Το σύνολο και τα υποσύνολά του …………………………….. 7
1.2 Ταυτότητες και Παραγοντοποίηση ………………………………………….. 12
1.3 Απόλυτη τιμή πραγματικών αριθμών ………………………………………. 17
1.4 Ρίζες πραγματικών αριθμών ……………………………………………………. 20
1.5 Ανισότητες ……………………………………………………………………………. 25
Ασκήσεις ……………………………………………………………………………………………………………. 48
Κεφάλαιο 2ο: ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ………………………………………………………………………………… 65
Ασκήσεις ……………………………………………………………………………………………………………. 75
Κεφάλαιο 3ο: ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ……………………………………………………………………………….. 81
Ασκήσεις ……………………………………………………………………………………………………………. 85
Κεφάλαιο 4ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ …………………………………………………………………………….. 89
Ασκήσεις ……………………………………………………………………………………………………………. 99
Κεφάλαιο 5ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ …………………………………………………………………………. 105
Ασκήσεις ………………………………………………………………………………………………………….. 119
Κεφάλαιο 6ο: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ …………………………………………………… 123
6.1 Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής ………………………………….. 123
6.2 Η ανισότητα Bernoulli ………………………………………………………….. 124
6.3 Το άθροισμα …………………………………………. 126
6.4 Οι ανισότητες των μέσων (Cauchy) ………………………………………. 127
6.5 Παραλλαγές της μεθόδου μαθηματικής επαγωγής ………………….. 129
6.6 Απόδειξη ανισοτήτων με επαγωγή ………………………………………… 130
Ασκήσεις ………………………………………………………………………………………………………….. 131
Κεφάλαιο 7ο: ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ………………………………………………………………………… 135
7.1 Η έννοια της ακολουθίας ………………………………………………………. 135
7.2 Πρόοδοι ………………………………………………………………………………. 137
7.3 Αναδρομικές ακολουθίες πρώτης τάξης …………………………………. 141
7.4 Αναδρομικές ακολουθίες δεύτερης τάξης ………………………………. 142
7.5 Ακολουθία Fibonacci ……………………………………………………………. 144
7.6 Μονότονες ακολουθίες …………………………………………………………. 147
Ασκήσεις ………………………………………………………………………………………………………….. 150
Κεφάλαιο 8ο: ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ …………………………………………………………………… 157
8.1 Τριγωνομετρικοί αριθμοί ……………………………………………………… 157
8.2 Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών ………………………………………… 158
8.3 Τριγωνομετρικές ταυτότητες …………………………………………………. 160
8.4 Τριγωνομετρικές εξισώσεις …………………………………………………… 160
8.5 Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών ………………………. 162
8.6 Τριγωνομετρικοί αριθμοί διπλάσιας γωνίας …………………………… 163
8.7 Μετασχηματισμοί τριγωνομετρικών παραστάσεων ………………… 164
8.8 Γραμμικός μετασχηματισμός ………………………………………………… 165
8.9 Νόμοι ημιτόνων και συνημιτόνων …………………………………………. 166
Ασκήσεις ………………………………………………………………………………………………………….. 167
Κεφάλαιο 9ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ………………………………………………………………………. 175
9.1 Δειγματικός χώρος και ενδεχόμενα ……………………………………….. 175
9.2 Η έννοια της πιθανότητας ……………………………………………………… 182
9.3 Συνδυαστική ………………………………………………………………………… 190
9.4 Δεσμευμένη πιθανότητα – Ανεξάρτητα ενδεχόμενα ……………….. 206
9.5 Θεώρημα ολικής πιθανότητας – Τύπος Bayes ………………………… 214
Ασκήσεις ………………………………………………………………………………………………………….. 217
Κεφάλαιο 10ο: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΛΟΓΙΚΗΣ …………………………………………………… 229
Κεφάλαιο 11ο: ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ……………………………………………………………………….. 237
11.1 Ορισμός του λογαρίθμου …………………………………………………….. 237
11.2 Ιδιότητες των λογαρίθμων …………………………………………………… 238
11.3 Εκθετικές και λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις …………… 239
Ασκήσεις ………………………………………………………………………………………………………….. 241
Κεφάλαιο 12ο: ΔΙΑΦΟΡΑ ΘΕΜΑΤΑ ……………………………………………………………… 245
Ασκήσεις ………………………………………………………………………………………………………….. 257
Απαντήσεις των ασκήσεων: Κεφάλαιο 1ο ………………………………………………………….. 265
Απαντήσεις των ασκήσεων: Κεφάλαιο 2ο ………………………………………………………………………………. 297
Απαντήσεις των ασκήσεων: Κεφάλαιο 3ο ………………………………………………………….. 307
Απαντήσεις των ασκήσεων: Κεφάλαιο 4ο ………………………………………………………….. 313
Απαντήσεις των ασκήσεων: Κεφάλαιο 5ο ………………………………………………………….. 323
Απαντήσεις των ασκήσεων: Κεφάλαιο 6ο ………………………………………………………….. 327
Απαντήσεις των ασκήσεων: Κεφάλαιο 7ο ………………………………………………………….. 331
Απαντήσεις των ασκήσεων: Κεφάλαιο 8ο ………………………………………………………….. 337
Απαντήσεις των ασκήσεων: Κεφάλαιο 9ο ………………………………………………………….. 353
Απαντήσεις των ασκήσεων: Κεφάλαιο 10ο …………………………………………………………. 377
Απαντήσεις των ασκήσεων: Κεφάλαιο 11ο …………………………………………………………. 395
Απαντήσεις των ασκήσεων: Κεφάλαιο 12ο …………………………………………………………. 401