Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό να αποτελέσει βοήθημα για μαθητές και φοιτητές που συμμετέχουν σε μαθηματικούς διαγωνισμούς, αλλά και για όποιον ενδιαφέρεται για το αντικείμενο της Θεωρίας Αριθμών. Έχει γραφτεί κατά τέτοιο τρόπο, ώστε τα πρώτα του πέντε κεφάλαια να είναι κατάλληλα για εισαγωγή στη Θεωρία Αριθμών των μαθητών του Γυμνασίου. Τα επόμενα κεφάλαια καλύπτουν πλήρως τη θεωρία που απαιτείται για διαγωνισμούς μαθητικούς και φοιτητικούς οποιουδήποτε επιπέδου. Σε κάθε κεφάλαιο υπάρχουν πολλά λυμένα παραδείγματα καθώς και αρκετές ασκήσεις για λύση, που προέρχονται κυρίως από Ελληνικούς και Διεθνείς μαθηματικούς διαγωνισμούς των τελευταίων ετών, για την εξάσκηση των μαθητών.
Έχει γίνει προσπάθεια να παρουσιαστούν όλα τα εργαλεία που είναι χρήσιμα για την επίλυση ασκήσεων της Θεωρίας Αριθμών και ιδιαίτερα έχουν συμπεριληφθεί όλες οι αποδείξεις των σημαντικών θεωρημάτων με ελάχιστες εξαιρέσεις μακροσκελών αποδείξεων, με σκοπό τη μείωση του όγκου του βιβλίου. Αυτό γιατί πιστεύουμε ότι η Θεωρία Αριθμών είναι μία περιοχή των Μαθηματικών με εξαιρετικά όμορφες, αλλά και χρήσιμες αποδεικτικές διαδικασίες. Η συστηματική ανάγνωση από τους μαθητές μπορεί να τους δώσει τη δυνατότητα πολύ καλύτερης κατανόησης των εννοιών, αλλά και μεγαλύτερη ικανότητα στην επίλυση των ασκήσεων.
Θεωρούμε υποχρέωση μας να ευχαριστήσουμε τους συναδέλφους διδάκτορες μαθηματικούς κ.κ. Σιλουανό Μπραζιτίκο, Επίκουρο καθηγητή του Πανεπιστημίου Κρήτης, και Αχιλλέα Συνεφακόπουλο, καθηγητή στα Εκπαιδευτήρια Μ.Ν. Ράπτου, Λάρισα, για τη διεξοδική ανάγνωση των κειμένων, τις πολύ εύστοχες παρατηρήσεις και υποδείξεις τους και για την ουσιαστική συμβολή τους στην άρτια εμφάνιση του βιβλίου.

Αθήνα, Οκτώβριος 2023

Οι συγγραφείς
Αγγελική Βλάχου      Ανάργυρος Φελλούρης

Πρόλογος ……………………………………………………………………………………………………………………… iii
Συμβολισμοί και Συντομογραφίες ………………………………………………………………………….. iv
Περιεχόμενα …………………………………………………………………………………………………………………. v
Εισαγωγή …………………………………………………………………………………………………………………….. iix

Κεφάλαιο 1ο: Οι αποδείξεις στα Μαθηματικά ……………………………………………….. 1
1.1. Προτασιακοί τύποι …………………………………………………………………………………. 1
1.2. Συνεπαγωγή ………………………………………………………………………………………………. 2
1.3. Ισοδυναμία ………………………………………………………………………………………………… 9
1.4. Μαθηματική ή τέλεια επαγωγή …………………………………………………………….. 12
1.5. Το διωνυμικό ανάπτυγμα ………………………………………………………………………. 20
1.6. Ασκήσεις με λύση ……………………………………………………………………………………… 25
1.7. Ασκήσεις για λύση ……………………………………………………………………………………. 30
Κεφάλαιο 2ο: Η Ευκλείδεια διαίρεση ……………………………………………………………… 33
2.1. Εισαγωγή …………………………………………………………………………………………………… 33
2.2. Το θεώρημα της Ευκλείδειας διαίρεσης ……………………………………………… 35
2.3. Ιδιότητες από το θεώρημα Ευκλείδειας διαίρεσης …………………………… 37
2.4. Ασκήσεις με λύση ……………………………………………………………………………………… 43
2.5. Συστήματα αρίθμησης …………………………………………………………………………….. 48
2.6. Τέλεια τετράγωνα και κύβοι. Τελικό ψηφίο ακεραίου …………………….. 54
2.7. Ασκήσεις με λύση …………………………………………………………………………………….. 60
2.8. Ασκήσεις για λύση ……………………………………………………………………………………. 67

Κεφάλαιο 3ο: Διαιρετότητα – Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης,
Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο ………………………………………………….. 71
3.1. Διαιρετότητα ακεραίων ………………………………………………………………………. 71
3.2. Κριτήρια διαιρετότητας …………………………………………………………………….. 72
3.3. Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί ……………………………………………………………….. 81
3.4. Ο Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης ακεραίων …………………………………………… 85
vi Θεωρία Αριθμών για μαθηματικούς διαγωνισμούς
vi
3.5. Το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο ακεραίων ……………………………………….. 96
3.6. Ασκήσεις με λύση ………………………………………………………………………………………. 100
3.7. Ασκήσεις για λύση ……………………………………………………………………………………. 113

Κεφάλαιο 4ο: Οι πρώτοι αριθμοί ………………………………………………………………………….. 115
4.1. Εισαγωγή …………………………………………………………………………………………………… 115
4.2. Βασικές προτάσεις για τους πρώτους αριθμούς ……………………………….. 115
4.3. Το πλήθος των πρώτων αριθμών και εκτίμηση του
μεγέθους του ߥ െ στού πρώτου . …………………………………………………………… 127
4.4. Ασκήσεις με λύση ……………………………………………………………………………………… 136
4.5. Η μεγαλύτερη δύναμη ακεραίου που διαιρεί το n! …………………………. 143
4.6. Ασκήσεις για λύση ……………………………………………………………………………………. 150

Κεφάλαιο 5ο: Γραμμικές Διοφαντικές Εξισώσεις …………………………………………….. 151
5.1. Η Γραμμική Διοφαντική Εξίσωση: ݔߙ ൅ ݕߚ ൌ ߛ ……………………………….. 151
5.2. Ασκήσεις με λύση ……………………………………………………………………………………… 160
5.3. Η Γραμμική Διοφαντική εξίσωση με ݊ αγνώστους, ݊ ൐ 2. …………….. 165
5.4. Το πρόβλημα των νομισμάτων του Frobenius ………………………………….. 166
5.5. Ασκήσεις για λύση ……………………………………………………………………………………. 171

Κεφάλαιο 6ο: Αριθμητικές συναρτήσεις …………………………………………………………….. 173
6.1. Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις ………………………………………………………… 173
6.2. Το πλήθος των θετικών διαιρετών ακεραίου …………………………………….. 176
6.3. Το άθροισμα των θετικών διαιρετών θετικού ακέραιου ………………… 180
6.4. Η συνάρτηση του Möbius ……………………………………………………………………….. 186
6.5. Η συνάρτηση του Euler …………………………………………………………………………… 190
6.6. Ασκήσεις για λύση ……………………………………………………………………………………. 197
Κεφάλαιο 7ο: Ισοϋπόλοιποι αριθμοί – Ισοτιμίες ……………………………………………….. 199
7.1. Ισοϋπόλοιποι αριθμοί ……………………………………………………………………………… 199
7.2. Το Λήμμα της εύρεσης του μέγιστου εκθέτη ሺLTEሻሻ ………………………… 210
7.3. Το θεώρημα του Zsigmondy ………………………………………………………………….. 218
7.4. Κλάσεις υπολοίπων …………………………………………………………………………………. 220
7.5. Πλήρες και ανηγμένο σύστημα υπολοίπων ………………………………………… 223
7.6. Γραμμικές ισοτιμίες …………………………………………………………………………………. 230
7.7. Συστήματα γραμμικών ισοτιμιών ……………………………………………………….. 233
7.8. Πολυωνυμικές ισοτιμίες – Θεώρημα του Wilson ………………………………. 240
7.9. Ασκήσεις για λύση …………………………………………………………………………………… 248

Θεωρία Αριθμών για μαθηματικούς διαγωνισμούς vii
vii
Κεφάλαιο 8ο: Ο τετραγωνικός νόμος της αντιστροφής ………………………………….. 251
8.1. Η τάξη ακεραίου ως προς ݊ – Πρωταρχικές ρίζες ……………………………… 251
8.2. Τετραγωνικά υπόλοιπα ………………………………………………………………………….. 256
8.3. Ο τετραγωνικός νόμος της αντιστροφής του Gauss …………………………. 268
8.4. Το σύμβολο του Jacobi ……………………………………………………………………………. 274
8.5. Ασκήσεις με λύση ……………………………………………………………………………………… 276
8.6. Ασκήσεις για λύση ……………………………………………………………………………………. 280
Κεφάλαιο 9ο: Μη γραμμικές Διοφαντικές εξισώσεις ………………………………………… 281
9.1. Μέθοδος παραγοντοποίησης ………………………………………………………………… 281
9.2. Χρήση ισοτιμιών ………………………………………………………………………………………. 286
9.3. Χρήση αλγεβρικών μεθόδων …………………………………………………………………. 296
9.4. Χρήση παραμετρικών εξισώσεων ………………………………………………………… 307
9.5. Η μέθοδος της άπειρης καθόδου του Fermat …………………………………….. 310
9.6. Με το Θεώρημα του Zsigmondy και το Λήμμα εύρεσης
του μέγιστου εκθέτη ………………………………………………………………………………… 313
9.7. Συνδυασμός μεθόδων ……………………………………………………………………………… 316
9.8. Ασκήσεις για λύση ……………………………………………………………………………………. 334
Κεφάλαιο 10ο: Διοφαντικές εξισώσεις 2ου βαθμού …………………………………………… 335
10.1. Η γενική Διοφαντική εξίσωση δευτέρου βαθμού ……………………………… 335
10.2. Η εξίσωση του Pell …………………………………………………………………………………… 341
10.3. Συνεχή κλάσματα …………………………………………………………………………………….. 348
10.4. Η θεμελιώδης λύση της εξίσωσης ݔଶ െ ݀ݕଶ ൌ 1, ݀ ് ܿଶ,ܿ ∈Գ∗ ………….. 363
10.5. Η εξίσωση ݔଶ െ ݀ݕଶ ൌ െ1, ݀ ് ܿ2,ܿ ∈ Գ∗
……………………………………………… 366
10.6. Η γενικευμένη εξίσωση του Pell: ݔଶ െ ݀ݕଶ ൌ ݉, ݀ ് ܿଶ,ܿ ∈Գ∗. ………… 372
10.7. Η εξίσωση: ܽݔଶ െ ܾݕଶ ൌ 1, ܽ, ܾ ∈ Գ∗ ……………………………………………………………… 375
10.8. Ασκήσεις για λύση ……………………………………………………………………………………. 378
Κεφάλαιο 11ο: Γενικές ασκήσεις …………………………………………………………………………. 379
11.1. Ασκήσεις από μαθηματικούς διαγωνισμούς ………………………………………. 379
11.2. Ασκήσεις για λύση ……………………………………………………………………………………. 400

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ.
Οι λύσεις των ασκήσεων ……………………………………………………………………………………….. 411
Βιβλιογραφία …………………………………………………………………………………………………………. 487
Ευρετήριο ………………………………………………………………………………………………………………… 489
viii Θεωρία Αριθμών για μαθηματικούς διαγωνισμούς