Mathematics for International Baccalaureate
Volume 1
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1 A collection of basic formulae 1
1.1 Binomial formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Geometric formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Trigonometric formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Exponential & logarithmic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Plane Analytical Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.1 Distance between points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.2 Gradient m of a straight line joining the points P1(x1; y1), P2(x2; y2) 14
1.6.3 Equation of a straight line joining the points P1(x1; y1), P2(x2; y2) . . 14
1.6.4 Equation of a straight line determined by its intersections with the
coordinate axis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.5 Normal equation of a straight line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.6 Generic equation of a straight line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.7 Distance of the point (x1; y1) from the straight line Ax + By + C = 0 15
1.6.8 Angle between 2 straight line of gradients m1 and m2 . . . . . . . . 15
1.6.9 Area of a triangle with vertices P(x1; y1), Q(x2; y2), R(x3; y3) . . . . . 15
1.6.10 Translation of coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.11 Rotation of coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.12 Translation & Rotation of coordinates . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.13 Polar coordinates & Conic sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Problem solving techniques with applications 23
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Technique A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.1 More applications of Technique A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Categories & a longer discussion on short notes . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.1 Applications – Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Word problems and the reduction to one technique . . . . . . . . . . 40
2.4 Technique B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.1 Technique B – How to get out of loops . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.2 A few applications to problems for mathematical competitions . . . . 45
2.5 Comments regarding Kalomitsinis’ ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Counting principles 57
3.1 Counting rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Examples on counting rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Counting Rule & Combinations – Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
iii
3.4 More practise questions & problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Matrices 73
4.1 Examples on Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Generalization of basic concepts on matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.2.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.3 Problems on Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.4 Solving linear systems – Gauss elimination method . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.1 Computing determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4.4.2 Finding the inverse of a square matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4.3 Computing ranks and bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.4.4 Gauss elimination method – Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5 Sequences & Series 91
5.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.1 Arithmetic sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.1.2 Problems on arithmetic sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.2 Geometric sequences or Progressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.1 Problems on geometric sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3 More practise on sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6 Complex Numbers 105
6.1 Basic theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2 Methodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.3 More Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
6.4 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.5 More practice on complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7 Exponential & Logarithmic function 121
7.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2 Logarithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
7.2.1 Properties: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.2.2 Change of base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
7.3 Problem Solving now . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8 Absolute value & Inequalities 129
8.1 Triangular inequality & binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.2 More examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
8.3 Some important inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.3.1 Archimedes property of real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.3.2 Subsets of R and types of points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.3.3 Inequality of Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.3.4 Inequality of Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
8.3.5 Inequality of Cauchy – Schwartz – Buniakowsky . . . . . . . . . . . . 144
8.3.6 Inequality of Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
iv
Contents
9 Linear Functions 145
9.0.7 General form of the equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.0.8 Slope formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
9.0.9 Parallel lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.0.10 Perpendicular lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
9.0.11 Midpoint & Distance of points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.0.12 Distance of a point from a straight line . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.0.13 Angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.1 Examples of Linear functions & graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.1.1 Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
10 Quadratics & Polynomial functions 163
10.1 Quadratic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.1.1 Problems on quadratics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.2 Polynomial Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.2.1 The remainder & factor theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
10.2.2 Problems on the remainder theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11 Rational functions & Limits 177
11.1 Domains of functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.2 How to nd limits – 2 mnemonic rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
12 Trigonometry 195
12.1 Basic formulae for trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
12.2 Examples & problems for trigonometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
12.3 Further trigonometric formulas & remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
13 Limits and Continuity 209
13.1 Basic theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
13.2 Methodology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
13.2.1 Group 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
13.2.2 Group 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
13.2.3 Group 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
13.2.4 Group 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
13.2.5 Group 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
13.2.6 Group 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
13.2.7 Group 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
13.2.8 Group 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
13.2.9 Group 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
13.2.10 Group 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
13.2.11 Group 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
13.2.12 Group 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
13.2.13 Group 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
13.2.14 Group 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
13.2.15 Group 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
13.2.16 Group 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
13.2.17 Group 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
13.2.18 Group 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
13.2.19 Group 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
v
13.2.20 Group 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
13.2.21 Group 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
13.3 Exercises on limits & continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
14 Derivatives & applications 253
14.1 Basic theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
14.1.1 Derivative and operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
14.1.2 Derivative of a composed function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
14.2 Basic theorems on derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
14.3 Methodology on derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
14.3.1 Group 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
14.4 Derivative of f at x0, f0(x0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
14.4.1 Group 2 – Successive derivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
14.4.2 Group 3 – Working with the de nition . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
14.4.3 Group 4 – Parameters and multiple type functions . . . . . . . . . . . 268
14.4.4 Group 5 – Tangent of the graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
14.4.5 Group 6 – Calculation of the tangent of a function f at a point x0 . . 271
14.4.6 Group 7 – Functions having the same tangent at their common point 273
14.4.7 Group 8 – Equation of tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
14.4.8 Group 10 – on local extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
14.4.9 Group 11 – working with inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
14.4.10 Group 12 – More on inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
14.4.11 Group 13 – Dealing with the mean value theorem . . . . . . . . . . . 281
14.4.12 Group 14 – Working with double inequalities . . . . . . . . . . . . . . 283
14.4.13 Group 15 – Constant function in an interval . . . . . . . . . . . . . . 284
14.4.14 Group 16 – At most one root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
14.4.15 Group 17 – At least one root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
14.4.16 Group 18 – Exactly one root . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
14.4.17 Group 19 – Application of Rolle’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . 289
14.4.18 Group 20 – On the application of Rolle’s theorem . . . . . . . . . . . 289
14.4.19 Group 21 – Range of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
14.4.20 Group 23 – Monotony of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
14.4.21 Group 24 – Calculate local extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
14.4.22 Group 25 – Convexity of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
14.4.23 Group 26 – In
ection points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
14.4.24 Group 27-Limits & L’ H^ospital rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
14.5 On the derivative of inverse trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . 303
14.6 Exercises on the derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
15 Graphs of functions 307
15.1 Basic instructions through examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307