ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΝΑ ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ 450 ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
- +
Τελική τιμή: 26,10€
Αρχική τιμή: 29,00€ Έκπτωση -10% (2,90€)
Δωρεάν έξοδα αποστολής για αγορές 30,00 και άνω
Βάρος 0.700 kg
Είδος

ISBN

Εκδότης

Έκδοση

Έτος έκδοσης

Μήνας έκδοσης

Σελίδες

Σχήμα

Το παρόν βιβλίο αφορά την αξιωματική θεμελίωση της Πιθανότητας και αποτελεί μια εισαγωγή σε ένα σύγχρονο αντικείμενο, που βρίσκει στις μέρες μας πολλές εφαρμογές, είτε σε πολλά πεδία των φυσικών επιστημών, είτε στις χρηματοοικονομικές επιστήμες.

Διδακτικά, αποτελεί ένα δεύτερο μάθημα στις Πιθανότητες και προϋποθέτει ότι ο αναγνώστης έχει μια πρώτη έστω εμπειρία σε Πιθανότητες/ Απειροστικό Λογισμό/ Πραγματική Ανάλυση (σε μετρικούς χώρους).
Ο αναγνώστης που έχει παρακολουθήσει κάποιο μάθημα Θεωρίας Μέτρου θα διευκολυνθεί.Απευθύνεται είτε σε προπτυχιακούς φοιτητές μεγαλυτέρων εξαμήνων, είτε σε μεταπτυχιακούς φοιτητές μαθηματικών, χρηματοοικονομικών ή φυσικών επιστημών.

 Ως προς τη δομή, κάθε κεφάλαιο χωρίζεται σε δύο βασικές ενότητες:

η πρώτη ενότητα περιέχει την απαραίτητη παρουσίαση της θεωρίας,
με αναλυτικά σχόλια και παρατηρήσεις επί των θεωρημάτων, καθώς και λυμένα παραδείγματα. Επιλέξαμε να αποφύγουμε την απόδειξη των (πολύ) τεχνικών θεωρημάτων (ειδικά αυτά της θεωρίας μέτρου),
τα οποία άλλωστε ο αναγνώστης θα μπορούσε να αναζητήσει στην ευρύτατη βιβλιογραφία.

Η δεύτερη ενότητα περιέχει πλήθος υποδειγματικά λυμένων προβλημάτων, περίπου 450 στο σύνολο του βιβλίου και διαφόρων επιπέδων δυσκολίας, πολλά από τα οποία έχουν αποτελέσει θέματα εξετάσεων σε μαθηματικές, πολυτεχνικές και οικονομικές σχολές.

Επίσης, κάθε κεφάλαιο συνοδεύεται στο τέλος με ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος, για πληρέστερη εμπέδωση της ύλης, οι απαντήσεις των οποίων περιλαμβάνονται σε σχετικό παράρτημα στο τέλος του βιβλίου.

Εισαγωγή

 

1 Μετρήσιμοι χώροι
1.1 Ανώτατο και κατώτατο όριο ακολουθίας συνόλων . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 σ -άλγεβρες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Ορισμοί και ιδιότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Παραγόμενη σ -άλγεβρα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Η σ -άλγεβρα των συνόλων Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Κλάση Dynkin ( λ -κλάση). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Ορισμοί και ιδιότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Παραγόμενη κλάση Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

.1.4 Λυμένες ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
 
2 Μέτρα και πιθανότητες
2.1 Ορισμός και παραδείγματα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53
2.2 Γινόμενα χώρων μέτρου και πιθανότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.1 Πεπερασμένο γινόμενο χώρων μέτρου . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.2.2  ́Απειρο γινόμενο χώρων πιθανότητας . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.3 Ιδιότητες μέτρου και πιθανότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4 Ισότητα πεπερασμένων μέτρων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5 Ανεξαρτησία (κλάσεων) ενδεχομένων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.6 Λυμένες ασκήσεις ………………………………… 74

Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

 

3 Μετρήσιμες συναρτήσεις και τυχαίες μεταβλητές
3.1 Ορισμοί και ιδιότητες……………………………………………105

3.2 σ -άλγεβρα παραγόμενη από συνάρτηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.3 Ανεξαρτησία τυχαίων μεταβλητών
3.4 Λυμένες ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

 

4 Συνάρτηση κατανομής
4.1 Συνάρτηση κατανομής μέτρου πιθανότητας . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2 Κατανομή τυχαίας μεταβλητής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.2.1 Πιθανότητα που επάγεται από τ.μ. . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.2.2 Ισονομία τυχαίων μεταβλητών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.2.3 Ανεξαρτησία και κατανομή τ.μ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.3 Συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.4 ∆ιακριτές τ.μ. και μάζα πιθανότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4.5 Συνεχείς τ.μ. και πυκνότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.6 Λυμένες ασκήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

 

5 Νόμος 0 − 1 και λήμματα Borel – Cantelli
5.1 Νόμος 0 − 1 του Kolmogorov για ενδεχόμενα . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.2 Νόμος 0 − 1 του Kolmogorov για τυχαίες μεταβλητές . . . . . . . . . 197
5.3 Λήμματα Borel – Cantelli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.4 Λυμένες ασκήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
 Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

 

6 Ολοκλήρωση και μέση τιμή
6.1 Ολοκλήρωμα Lebesgue  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.2 Μέση τιμή τυχαίας μεταβλητής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.3 ∆ιασπορά και συνδυακύμανση τ.μ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.4 Ανισότητες μέσης τιμής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.5 Οριακά θεωρήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
6.6 Ομοιόμορφη ολοκληρωσιμότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.7 Μέση τιμή και κατανομή τυχαίας μεταβλητής . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.8 Λυμένες ασκήσεις  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

 

7 Συγκλίσεις τ.μ. και νόμοι μεγάλων αριθμών
7.1 Συγκλίσεις ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών . . . . . . . . . . . . . . . 351
7.1.1 Σχεδόν βεβαίως σύγκλιση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

7.1.2 Κατά πιθανότητα σύγκλιση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
7.1.3 L p σύγκλιση. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
7.2 Σχέσεις των συγκλίσεων. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
7.3 Νόμοι μεγάλων αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
7.3.1 Ισχυρός νόμος μεγάλων αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
7.3.2 Ασθενής νόμος μεγάλων αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
7.4 Λυμένες ασκήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

 

8 Σύγκλιση κατά κατανομή και χαρακτηριστική συνάρτηση
8.1 Σύγκλιση κατά κατανομή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
8.2 Χαρακτηριστική συνάρτηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
8.2.1 Ορισμός και βασικές ιδιότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
8.2.2 Το θεώρημα συνέχειας του L ́evy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
8.2.3 Σχέση χαρακτηριστικής συνάρτησης και ροπών . . . . . . . . . . 434
8.3 Κεντρικό οριακό θεώρημα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
8.4 Λυμένες ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513

Αʹ Απαντήσεις στις ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος