ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ
- +
Τελική τιμή: 26,10€
Αρχική τιμή: 29,00€ Έκπτωση -10% (2,90€)
Δωρεάν έξοδα αποστολής για αγορές 30,00 και άνω
Βάρος 0.900 kg
Είδος

ISBN

Εκδότης

Έκδοση

Έτος έκδοσης

Σελίδες

Σχήμα

Μήνας έκδοσης

Στο παρόν βιβλίο εισάγουμε τον αναγνώστη στη θεωρία των μερικών διαφορικών
εξισώσεων. Η γενική κατεύθυνση που ακολουθήσαμε βασίζεται στον εξής στόχο : να
είναι κανείς σε θέση να αναγνωρίζει βασικές και κλασικές μερικές διαφορικές εξισώ-
σεις που συναντώνται συχνά στις εφαρμογές και να χρησιμοποιεί τα βασικά εργαλεία –
μεθόδους του αντικειμένου, προκειμένου να επιλύει μια κατηγορία βασικών προβλη-
μάτων. Μηχανικοί, μαθηματικοί και φυσικοί μπορούν να χρησιμοποιήσουν το βιβλίο
αυτό ως ένα χρήσιμο κείμενο αναφοράς.

 

Το κείμενο χωρίζεται σε εννέα κεφάλαια. Τα δύο πρώτα είναι εισαγωγικά, στις
σειρές Fourier και τα αυτοσυζυγή, Sturm – Liouville προβλήματα συνοριακών τιμών
και το τρίτο κεφάλαιο αφορά τη γενική θεωρία και την ονοματολογία των μερικών δια-
φορικών εξισώσεων, καθώς και την επίλυση ειδικών περιπτώσεων αυτών. Στο τέταρτο
κεφάλαιο μελετούμε εξισώσεις πρώτης τάξης, γραμμικές και σχεδόν γραμμικές, ενώ
μια παράγραφος αφορά αποκλειστικά την εξίσωση του Burgers. Στο πέμπτο κεφάλαιο
μελετούμε γραμμικές εξισώσεις δεύτερης τάξης στον R 2 . Τα επόμενα τρία κεφάλαια
αφορούν την επίλυση κλασικών μερικών διαφορικών εξισώσεων που συναντά κανείς
συχνά σε φυσικά προβλήματα και συγκεκριμένα :

 

(1) εξίσωση θερμότητας, (2) εξίσωση κύματος, (3) εξίσωση Laplace.

 

Το ένατο και τελευταίο κεφάλαιο αφορά τη χρήση ολοκληρωτικών μετασχη-
ματισμών στην επίλυση προβλημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων σε μη φραγμένα
χωρία και παρουσιάζουμε τους μετασχηματισμούς Fourier, τον κλασικό, τον συνημιτο-
νικό και τον ημιτονικό, καθώς και το μετασχηματισμό Laplace.

 

Κάθε κεφάλαιο περιέχει πλήθος υποδειγματικά λυμένων προβλημάτων, τα οποία
και έχουμε κατηγοριοποιήσει ανά θεματική ενότητα. Σημειώνουμε ότι πολλά από τα
προβλήματα αυτά έχουν αποτελέσει θέματα εξετάσεων σε πολυτεχνικές/μαθηματικές σχολές.
Το τελευταίο μέρος του βιβλίου περιέχει, για γρήγορη αναφορά του αναγνώστη,
ένα βασικό τυπολόγιο στις μερικές διαφορικές εξισώσεις. Στο τυπολόγιο αυτό περιέ-
χονται συγκεντρωτικά, μεταξύ άλλων, και βασικές γνώσεις από τη θεωρία των συνήθων
διαφορικών εξισώσεων, που προαπαιτούνται ώστε να ξεκινήσει κανείς να επιλύει μερι-
κές διαφορικές εξισώσεις.

 

Ευχόμαστε καλή μελέτη !

Εισαγωγή

1 Τριγωνομετρικές σειρές Fourier
1.1 Γενική θεωρία. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
1.2 Παραγώγιση και ολοκλήρωση σειρών Fourier . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Λυμένα προβλήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

 

2 Προβλήματα συνοριακών τιμών Sturm – Liouville
2.1 Γενική θεωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Επίλυση του βασικού αυτοσυζυγούς προβλήματος . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Επίλυση του ημιομογενούς προβλ/τος (μέθοδος Fredholm) . . . . . . . 46
2.4 Λυμένα προβλήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

 

3 Μερικές διαφορικές εξισώσεις, γενικά
3.1 Ονοματολογία. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2 Λύσεις μερικών διαφορικών εξισώσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.3 Λυμένα προβλήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

 

4 Μ∆Ε πρώτης τάξης                                                                   121
4.1 Γραμμικές Μ∆Ε πρώτης τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2 Εφαρμογή : η εξίσωση μεταφοράς . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.3 Σχεδόν γραμμικές Μ∆Ε πρώτης τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.4 Εφαρμογή : η εξίσωση του Burgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.5 Λυμένα προβλήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

 

5 Μ∆Ε δεύτερης τάξης                                                                         195
5.1 Κανονική μορφή και τύποι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

5.2 Λυμένα προβλήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

 

6 Εξίσωση θερμότητας                                                                         207
6.1 Η εξίσωση θερμότητας και σχετικοί ορισμοί . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.2 Αρχή μεγίστου και αρχή ελαχίστου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
6.3 Συνάρτηση ενέργειας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
6.4 Επίλυση προβλημάτων εξίσωσης θερμότητας . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.4.1 Μια διάσταση και φραγμένο διάστημα . . . . . . . . . . . . . . . 214
6.4.2 ∆υο διαστάσεις και φραγμένο χωρίο . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.5 Λυμένα προβλήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

 

7 Εξίσωση κύματος                                                                                 259
7.1 Η κυματική εξίσωση και σχετικοί ορισμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
7.2 Συνάρτηση ενέργειας και μοναδικότητα λύσεων . . . . . . . . . . . . . . 260
7.3 Η εξίσωση κύματος σε μια διάσταση : άπειρο διάστημα . . . . . . . . . . 263
7.4 ΠΑΣΤ εξίσωσης κύματος σε φραγμένο χωρίο. . . . . . . . . . . . . . . 274
7.4.1 ΠΑΣΤ εξίσωσης κύματος σε μια διάσταση . . . . . . . . . . . . . 274
7.4.2 ΠΑΣΤ εξίσωσης κύματος σε δυο διαστάσεις. . . . . . . . . . . . 284
7.5 Λυμένα προβλήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

 

8 Εξίσωση Laplace                                                                                  327
8.1 Η εξίσωση Laplace και σχετικοί ορισμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
8.2 Βασικές ιδιότητες αρμονικών συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . 331
8.2.1 Η αρχή του μεγίστου – ελαχίστου . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
8.2.2 Η ιδιότητα μέσης τιμής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
8.2.3 Οι ταυτότητες του Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
8.3 Επίλυση προβλημάτων Laplace / Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
8.3.1 Φραγμένο ορθογώνιο χωρίο σε καρτεσιανές συντεταγμένες . . . . 340
8.3.2 Φραγμένο κυκλικό χωρίο σε πολικές συντεταγμένες . . . . . . . . 347
8.3.3 Μη φραγμένα χωρία ειδικής μορφής . . . . . . . . . . . . . . . . 352
8.4 Λυμένα προβλήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

 

9 Ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί                     421
9.1 Κλασικοί ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί
9.1.1 Μετασχηματισμός Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . 421
9.1.2 ∆ιπλός μετασχηματισμός Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426
9.1.3 Συνημιτονικός μετασχηματισμός Fourier……. . . . . . . . . . . . . 428

9.1.4 Ημιτονικός μετασχηματισμός Fourier . . . . . . . . . . . . . . . 430
9.1.5 Μετασχηματισμός Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
9.2 Επίλυση Μ∆Ε με χρήση ολοκ/κών μετ/σμών . . . . . . . . . . . . . . . 441

 

Αʹ Τυπολόγιο …………………………… 511

 

Βιβλιογραφία ……………………………….527

 

Εργογραφία ………………………………..529