ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ 400 ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ 400 ΛΥΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ

- +
Τελική τιμή: 26,10€
Αρχική τιμή: 29,00€ Έκπτωση -10% (2,90€)
Δωρεάν έξοδα αποστολής για αγορές 30,00 και άνω
Βάρος 0.500 kg
Είδος

ISBN

Εκδότης

Έκδοση

Έτος έκδοσης

Μήνας έκδοσης

Σελίδες

Σχήμα

 

Ο Ολοκληρωτικός Λογισµός ϐρίσκει τις απαρχές του στο έργο των µαθηµατικών της Αρχαίας Ελλάδας, όπου τέθηκε το πρόβληµα υπολογισµού εµβαδών και όγκων (Εύδοξος, Αρχιµήδης, µέθοδος εξάντλησης). ΄Εκτοτε, αναπτύχθηκε παράλληλα µε το ∆ιαφορικό Λογισµό µετά τον 15ο αιώνα και µαζί αποτελούν τις ϐάσεις του Απειροστικού Λογισµού.

Η ϐάση για τη σύγχρονες ϑεωρίες ολοκλήρωσης είναι το ολοκλήρωµα Riemann, το οποίο και εµείς µελετούµε στο ϐιβλίο αυτό. Η εξέλιξη ωστόσο της επιστήµης και οι ανάγκες επίλυσης νέων, σύνθετων προβληµάτων έχουν οδηγήσει στην ανάπτυξη νέων τεχνικών : ολοκλήρωµα Lebesgue, ολοκλήρωµα Riemann - Stieltjes, στοχαστικό ολοκλήρωµα στη Θεωρία Πιθανοτήτων κ.ο.κ.

Σκοπός του ϐιβλίου αυτού είναι να εισάγει τον αναγνώστη στις ϐασικές ιδέες του ολοκληρώµατος Riemann, όπως αυτές διδάσκονται σε ένα προπτυχιακό µάθηµα σχολών ϑετικών επιστηµών (µαθηµατικό, ϕυσικό, σχολές µηχανικών και οικονοµικών επιστηµών κ.λπ.). Προαπαιτούµενα για τη µελέτη του είναι η γνώση ϐασικών εργαλείων του Απειροστικού Λογισµού στη µια µεταβλητή, όπως όρια και παράγωγοι συναρτήσεων µιας µεταβλητής κατά κύριο λόγο.

Ως προς το περιεχόµενο, καλύπτουµε τις ενότητες : αόριστο ολοκλήρωµα, ολοκλήϱωµα Riemann, τα ϑεµελιώδη ϑεωρήµατα του Ολοκληρωτικού Λογισµού, γενικευµένο ολοκλήρωµα, εφαρµογές του ολοκληρώµατος.

Ως προς τη δοµή, κάθε κεφάλαιο χωρίζεται σε δύο ϐασικές ενότητες : η πρώτη ενότητα περιέχει την απαραίτητη παρουσίαση της ϑεωρίας, µε αναλυτικά σχόλια και παρατηρήσεις επι των ϑεωρηµάτων, λυµένα παραδείγµατα και πλήθος σκαριφηµάτων, για λόγους εποπτείας. Η δεύτερη ενότητα περιέχει πλήθος υποδειγµατικά λυµένων προβληµάτων, περίπου 400 στο σύνολο του ϐιβλίου και διαφόρων επιπέδων δυσκολίας, κάποια από τα οποία έχουν αποτελέσει ϑέµατα εξετάσεων σε µαθηµατικές, πολυτεχνικές και οικονοµικές σχολές."

Εισαγωγή i

1 Αόριστο ολοκλήρωμα 1

1.1 Ορισμός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Ολοκληρώματα στοιχειωδών συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Υπολογισμοί αόριστων ολοκληρωμάτων στοιχειωδών συναρτήσεων9
1.2.2 Το αόριστο ολοκλήρωμα ως μη στοιχειώδης συνάρτηση . . . . . . 13
1.3 Μέθοδοι ολοκλήρωσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Ολοκλήρωση με αντικατάσταση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Παραγοντική ολοκλήρωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.3 Ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.3.4 Ολοκληρώματα που ανάγονται σε ολ/τα ρητών συναρτήσεων . . . 36

1.4 Λυμένες ασκήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51

2 Ολοκλήρωμα Riemann ………111
2.1 ∆ιαμερίσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
2.2 Ορισμός ορισμένου ολοκληρώματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.2.1 Ορισμός κατά Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.2.2 Ορισμός κατά Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.3 Κριτήρια ολοκληρωσιμότητας  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.4 Κλάσεις ολοκληρώσιμων συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.5 Ιδιότητες του ολοκληρώματος
2.6 Λυμένες ασκήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

 

3 Θεμελιώδη θεωρήματα Ολοκληρωτικού Λογισμού και συνέπειες

3.1 Η συνάρτηση του αόριστου ολοκληρώματος . . . . . . . . . . . . . . . . 253

3.2 Θεώρημα μέσης τιμής Ολοκληρωτικού Λογισμού . . . . . . . . . . . . . 275

3.3 Ανισότητα Cauchy – Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
3.4 Λυμένες ασκήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

 

4 Γενικευμένα ολοκληρώματα …………………………………………..411
4.1 Γενικευμένα ολοκληρώματα πρώτου είδους . . . . . . . . . . . . . . . . 411
4.1.1 Ορισμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
4.1.2 Κριτήρια σύγκλισης γ.ο. πρώτου είδους . . . . . . . . . . . . . . 419
4.2 Γενικευμένα ολοκληρώματα δεύτερου είδους . . . . . . . . . . . . . . . 440
4.2.1 Ορισμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
4.2.2 Κριτήρια σύγκλισης γ.ο. δεύτερου είδους . . . . . . . . . . . . . 449
4.3 Γενικευμένα ολοκληρώματα μεικτού είδους . . . . . . . . . . . . . . . . 455
4.4 Λυμένες ασκήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458

 

5 Εφαρμογές του ορισμένου ολοκληρώματος…………………………….531
5.1 Υπολογισμοί εμβαδών επίπεδων χωρίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531
5.1.1 Η περίπτωση των καρτεσιανών εξισώσεων . . . . . . . . . . . . . . 531
5.1.2 Η περίπτωση των πολικών εξισώσεων . . . . . . . . . . . . . . . . 536
5.2 Μήκος γραφήματος συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
5.3 Υπολογισμοί όγκων σωμάτων από περιστροφή. . . . . . . . . . . . . 543
5.4 Υπολογισμοί εμβαδών επιφανειών σωμάτων από περιστροφή . . . . . . . 554
5.5 Λυμένες ασκήσεις. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559

 

Βιβλιογραφία 597

 

Εργογραφία 599