Δωρεάν έξοδα αποστολής για αγορές 30,00€ και άνω
Βάρος | 0,700 kg |
---|---|
Είδος | |
ISBN | |
Εκδότης | |
Έκδοση | |
Έτος έκδοσης | |
Μήνας έκδοσης | |
Σελίδες | |
Σχήμα |
Το παρόν ϐιβλίο είναι µια εισαγωγή στη ϑεωρία της Μιγαδικής Ανάλυσης. Λόγω της χρησιµότητάς του σε πλήθος εφαρµογών, το αντικείµενο αυτό αφορά όχι µόνο µαθηµατικούς, αλλά και επιστήµονες ϑετικών επιστηµών, όπως µηχανικούς, ϕυσικούς κοκ, αποτελώντας αντικείµενο διδασκαλίας σε πολλές πανεπιστηµικές σχολές. Εµείς εδώ επιλέξαµε να ακολουθήσουµε τη διδασκαλία της Μιγαδικής Ανάλυσης, όπως αυτή πραγµατοποιείται σε µια µαθηµατική σχολή, παρέχοντας όλα τα µαθηµατικά εργαλεία ϑεµελίωσης του αντικειµένου.
Το υλικό του ϐιβλίου χωρίζεται σε επτά κεφάλαια, που περιλαµβάνουν την απαραίτητη ϑεωρία, παραδείγµατα κατανόησης και µεγάλο πλήθος υποδειγµατικά λυµένων ασκήσεων στο τέλος κάθε κεφαλαίου, περίπου 500 στο σύνολο. Να τονίσουµε ότι µέρος των ασκήσεων που παρουσιάζουµε έχουν αποτελέσει ϑέµατα εξετάσεων σε πανεπιστηµιακές και πολυτεχνικές σχολές. Επιπλέον, στο τελευταίο µέρος του ϐιβλίου υπάρχουν οι απαντήσεις των ερωτήσεων τύπου – σωστό λάθος που περιλαµβάνονται στο τέλος κάθε κεφαλαίου, για πληρέστερη εµπέδωση της ύλης.
Ευχόµαστε καλή µελέτη !
Νικόλαος Σκούταρης
Αθήνα, Σεπτέµβριος 2022
Εισαγωγή iii
1 Το σύνολο C των µιγαδικών αριθµών 1
1.1 Ορισµοί και αλγεβρικές πράξεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Τριγωνοµετρική µορφή µιγαδικού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Βασικές µιγαδικές συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Επίλυση µιγαδικών εξισώσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Ρητογραµµικοί (M¨obius) µετασχηµατισµοί . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Λυµένες ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7 Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2 Ακολουθίες και σειρές µιγαδικών αριθµών 95
2.1 Στοιχεία της τοπολογίας του µιγαδικού επιπέδου . . . . . . . . . . . . . 95
2.2 Μιγαδικές ακολουθίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.3 Σειρές µιγαδικών αριθµών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.4 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.5 Λυµένες ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.6 Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3 Μιγαδικές συναρτήσεις : όρια, συνέχεια και ολοµορφία 127
3.1 Μιγαδικές συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.2 ΄Ορια µιγαδικών συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3 Συνέχεια µιγαδικών συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.4 Μιγαδική παράγωγος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.4.1 Παράγωγος µιγαδικής συνάρτησης πραγµατικής µεταβλητής . . . 136
3.4.2 Ορισµός µιγαδικής παραγώγου και ιδιότητες . . . . . . . . . . . 138
3.4.3 Οι συνθήκες Cauchy – Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.4.4 Η ολοµορφία της εκθετικής και της λογαριθµικής συνάρτησης . . 148
v
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
3.4.5 Αρµονικές συναρτήσεις – συζυγής αρµονική . . . . . . . . . . . . 150
3.5 Λυµένες ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.6 Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
4 Μιγαδικές δυναµοσειρές και σειρές Laurent 197
4.1 ∆υναµοσειρές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
4.2 Συναρτήσεις που ορίζονται από δυναµοσειρές . . . . . . . . . . . . . . . 204
4.3 Σειρές Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4.4 Λυµένες ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.5 Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5 Μιγαδική ολοκλήρωση 241
5.1 Ολοκλήρωµα µιγαδικής συνάρτησης, πραγµατικής µεταβλητής . . . . . 241
5.2 Καµπύλες στο µιγαδικό επίπεδο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.3 Μιγαδικό επικαµπύλιο ολοκλήρωµα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.4 ∆είκτης στροφής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
5.5 Θεώρηµα Cauchy και ολοκληρωτικοί τύποι . . . . . . . . . . . . . . . . 261
5.6 Συνέπειες του ϑεωρήµατος του Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.7 Λυµένες ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
5.8 Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
6 Ιδιότητες ολόµορφων συναρτήσεων 375
6.1 Αρχή µοναδικότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
6.2 Αρχή αναλυτικής συνέχισης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
6.2.1 Η συνάρτηση Γ του Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
6.2.2 Η συνάρτηση Βήτα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
6.3 Αρχή µεγίστου – ελαχίστου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
6.4 Λυµένες ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
6.5 Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
7 Ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρµογές 421
7.1 Μεµονωµένες ανωµαλίες ολόµορφων συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . 421
7.2 Αναπτύγµατα Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
7.3 Ολοκληρωτικά υπόλοιπα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
7.4 Εφαρµογές στον υπολογισµό πραγµατικών ολοκληρωµάτων . . . . . . . 435
7.5 Η αρχή του ορίσµατος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
7.6 Η αρχή του Rouch ´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
7.7 Λυµένες ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
7.8 Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
vi
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
Αʹ Απαντήσεις στις ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος 529
Βιβλιογραφία 537
Εργογραφία 530