ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ
- +
Τελική τιμή: 26,55€
Αρχική τιμή: 29,50€ Έκπτωση -10% (2,95€)
Δωρεάν έξοδα αποστολής για αγορές 30,00 και άνω
Βάρος 0.6 kg
Είδος

Έκδοση

Εκδότης

Επιστημονική επιμέλεια

Νικόλαος Κόλλας

Έτος έκδοσης

ISBN

Μήνας έκδοσης

Σελίδες

Σχήμα

Κατηγορία: Ετικέτα: Συγγραφέας:

 

Όπως σημειώνει ο πολυβραβευμένος ακαδημαϊκός Γεώργιος Δάσιος, ο Απειροστικός Λογισμός θεμελιώνεται επάνω στις έννοιες της παραγώγου και του ολοκληρώματος ακέραιης τάξης. Ο Κλασματικός Λογισμός αποτελεί την επέκταση αυτών των εννοιών για κάθε πραγματική, ακόμη και µιγαδική τάξη. Ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά της θεωρίας του Κλασµατικού Λογισµού είναι ότι η κλασµατική παραγώγιση έχει την ίδια ολική συµπεριφορά µε αυτή του ολοκληρώµατος, σε αντίθεση µε τον τοπικό χαρακτήρα της παραγώγου στον Κλασικό Λογισµό. 

Η θεωρία του Κλασµατικού Λογισµού, πέρα από την ενδογενή γοητεία που ασκεί στον αναγνώστη, έχει βρει τις τελευταίες δεκαετίες πολύ χρήσιµες εφαρµογές σε απαιτητικά προβλήµατα της σύγχρονης επιστήµης και τεχνολογίας. Όπως φαίνεται, η νεο-αναπτυχθείσα αυτή θεωρία θα αποδειχθεί εξαιρετικά χρήσιµη­ στο άµεσο µέλλον, γιατί παρέχει τη δυνατότητα να αντιµετωπίζουµε κάθε πρόβληµα µε το βέλτιστο µαθηµατικό εργαλείο, το οποίο υπαγορεύεται από το ίδιο το πρόβληµα.

 

 

Ο Γεώργιος Δάσιος γεννήθηκε στην Πάτρα το 1946. Έχει σπουδάσει Μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο Αθηνών και στο Πανεπιστήμιο Illinois στο Chicago.
Σήμερα είναι ομότιμος καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Πατρών, επίτιμος ερευνητής στο Ίδρυμα Τεχνολογίας και Έρευνας και αντεπιστέλλον µέλος της Ακαδημίας Αθηνών. Υπήρξε ακόμη κάτοχος Έδρας Αριστείας Marie Curie στο Πανεπιστήμιο Cambridge. Έχει δημοσιεύσει 180 ερευνητικές εργασίες σε διεθνή επιστημονικά περιοδικά, έχει παρουσιάσει περισσότερες από 200 ανακοινώσεις σε διεθνή συνέδρια και έχει εκδώσει 19 συγγράμματα διδακτικού και ερευνητικού περιεχομένου στην ελληνική και την αγγλική γλώσσα.

1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ
1.1 Επέκταση εννοιών ………………………………………………………….. 1
1.2 Κλασματική παραγώγιση της συνάρτησης x (Liouville)…………. 4
1.3 Κλασματική ολοκλήρωση (Riemann) …………………………………… 6
1.4 παραγώγιση …………………………………………………. 9
1.5 Τελεστές μιγαδικής τάξης ………………………………………………… 13
1.6 Γεωμετρική ερμηνεία της κλασματικής ολοκλήρωσης ……………… 16
1.7 Φυσική ερμηνεία της κλασματικής παραγώγισης …………………… 20
1.8 Σχολιασμός εννοιών………………………………………………………… 25
1.9 Χαρακτηριστικές ιδιότητες……………………………………………….. 32
1.10 Ανάλυση παραδειγμάτων …………………………………………………. 38
1.11 Αριστεροί και δεξιοί τελεστές …………………………………………… 41
1.12 Ασκήσεις………………………………………………………………………. 45
2 Η ΘΕΩΡΙΑ GRÜNWALD-LETNIKOV
2.1 Ενοποίηση παραγώγισης και ολοκλήρωσης…………………………… 49
2.2 Παραγώγιση και ολοκλήρωση πραγματικής τάξης …………………. 57
(t − ) ………………………………………………………. 60
τελεστών………………………………………… 64
2.5 Ασκήσεις………………………………………………………………………. 74
3 ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ
3.1 Η θεωρία Riemann-Liouville …………………………………………….. 77
3.2 Το θεμελιώδες θεώρημα…………………………………………………… 79
3.3 Ιδιότητες της κλασματικής παραγώγισης …………………………….. 84
3.4 Κλασματική παραγώγιση γινομένου. Ο τύπος του Leibniz ………. 88
3.5 Κλασματική παράγωγος ολοκληρώματος με παράμετρο …………. 97
3.6 Ασκήσεις………………………………………………………………………. 102
4 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΜΑΛΟΠΟΙΗΣΗ KAI
ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ
4.1 Η έννοια της γενικευμένης συνάρτησης ……………………………….. 105
4.2 Ομαλοποίηση ιδιομορφιών………………………………………………… 115
4.3 Κανονικοποίηση y (x) ……………………………………………….. 122
4.4 Κλασματική παραγώγιση συναρτήσεων…………….. 126
4.5 Κλασματική παραγώγιση συνάρτησης ……………………. 131
4.6 Ασκήσεις………………………………………………………………………. 132
5 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ CAPUTO. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER ΚΑΙ
LAPLACE
5.1 Η παράγωγος Caputo ……………………………………………………… 135
5.2 Ο Μετασχηματισμός Laplace στον Κλασματικό Λογισμό…………. 139
5.3 Ο μετασχηματισμός Fourier στον Κλασματικό Λογισμό ………….. 144
5.4 Ασκήσεις………………………………………………………………………. 147
6 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ MITTAG-LEFFLER
6.1 Ορισμοί………………………………………………………………………… 151
6.2 Μετασχηματισμός Laplace και συνάρτηση Mittag-Leffler …………. 154
6.3 Παραγώγιση της συνάρτησης Mittag-Leffler………………………….. 156
6.4 Ολοκλήρωση της συνάρτησης Mittag-Leffler………………………….. 162
6.5 Φασματική ανάλυση του τελεστή c
0Da
t …………………………………. 164
6.6 Ασκήσεις………………………………………………………………………. 166
7 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
7.1 Ακολουθιακή Κλασματική Παραγώγιση ………………………………. 169
7.2 Το πρόβλημα αρχικών τιμών …………………………………………….. 171
7.3 Ο πυρήνας του 0Dp
t ………………………………………………………… 181
7.4 Ολοκληρωτικές Εξισώσεις ………………………………………………… 183
7.5 Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις…………………………………………. 188
7.6 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις………………………………………….. 193
7.7 Ασκήσεις………………………………………………………………………. 195
8 ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
8.1 Εξισώσεις με έναν όρο…………………………………………………….. 197
3.5 Κλασματική παράγωγος ολοκληρώματος με παράμετρο …………. 97
3.6 Ασκήσεις………………………………………………………………………. 102
4 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΜΑΛΟΠΟΙΗΣΗ KAI
ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ
4.1 Η έννοια της γενικευμένης συνάρτησης ……………………………….. 105
4.2 Ομαλοποίηση ιδιομορφιών………………………………………………… 115
4.3 Κανονικοποίηση της y (x) ……………………………………………….. 122
4.4 Κλασματική παραγώγιση γενικευμένων συναρτήσεων…………….. 126
4.5 Κλασματική παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης ……………………. 131
4.6 Ασκήσεις………………………………………………………………………. 132
5 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ CAPUTO. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER ΚΑΙ
LAPLACE
5.1 Η παράγωγος Caputo ……………………………………………………… 135
5.2 Ο Μετασχηματισμός Laplace στον Κλασματικό Λογισμό…………. 139
5.3 Ο μετασχηματισμός Fourier στον Κλασματικό Λογισμό ………….. 144
5.4 Ασκήσεις………………………………………………………………………. 147
6 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ MITTAG-LEFFLER
6.1 Ορισμοί………………………………………………………………………… 151
6.2 Μετασχηματισμός Laplace και συνάρτηση Mittag-Leffler …………. 154
6.3 Παραγώγιση της συνάρτησης Mittag-Leffler………………………….. 156
6.4 Ολοκλήρωση της συνάρτησης Mittag-Leffler………………………….. 162
6.5 Φασματική ανάλυση του τελεστή c
0Da
t …………………………………. 164
6.6 Ασκήσεις………………………………………………………………………. 166
7 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
7.1 Ακολουθιακή Κλασματική Παραγώγιση ………………………………. 169
7.2 Το πρόβλημα αρχικών τιμών …………………………………………….. 171
7.3 Ο πυρήνας του 0Dp
t ………………………………………………………… 181
7.4 Ολοκληρωτικές Εξισώσεις ………………………………………………… 183
7.5 Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις…………………………………………. 188
7.6 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις………………………………………….. 193
7.7 Ασκήσεις………………………………………………………………………. 195
8 ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
8.1 Εξισώσεις με έναν όρο…………………………………………………….. 197
3.5 Κλασματική παράγωγος ολοκληρώματος με παράμετρο …………. 97
3.6 Ασκήσεις………………………………………………………………………. 102
4 ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ – ΟΜΑΛΟΠΟΙΗΣΗ KAI
ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ
4.1 Η έννοια της γενικευμένης συνάρτησης ……………………………….. 105
4.2 Ομαλοποίηση ιδιομορφιών………………………………………………… 115
4.3 Κανονικοποίηση της y (x) ……………………………………………….. 122
4.4 Κλασματική παραγώγιση γενικευμένων συναρτήσεων…………….. 126
4.5 Κλασματική παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης ……………………. 131
4.6 Ασκήσεις………………………………………………………………………. 132
5 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ CAPUTO. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER ΚΑΙ
LAPLACE
5.1 Η παράγωγος Caputo ……………………………………………………… 135
5.2 Ο Μετασχηματισμός Laplace στον Κλασματικό Λογισμό…………. 139
5.3 Ο μετασχηματισμός Fourier στον Κλασματικό Λογισμό ………….. 144
5.4 Ασκήσεις………………………………………………………………………. 147
6 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ MITTAG-LEFFLER
6.1 Ορισμοί………………………………………………………………………… 151
6.2 Μετασχηματισμός Laplace και συνάρτηση Mittag-Leffler …………. 154
6.3 Παραγώγιση της συνάρτησης Mittag-Leffler………………………….. 156
6.4 Ολοκλήρωση της συνάρτησης Mittag-Leffler………………………….. 162
6.5 Φασματική ανάλυση του τελεστή c
0Da
t …………………………………. 164
6.6 Ασκήσεις………………………………………………………………………. 166
7 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
7.1 Ακολουθιακή Κλασματική Παραγώγιση ………………………………. 169
7.2 Το πρόβλημα τιμών …………………………………………….. 171
7.3 Ο πυρήνας 0Dp
t ………………………………………………………… 181
7.4 Ολοκληρωτικές Εξισώσεις ………………………………………………… 183
7.5 Συνήθεις Εξισώσεις…………………………………………. 188
7.6 Μερικές Εξισώσεις………………………………………….. 193
7.7 Ασκήσεις………………………………………………………………………. 195
8 ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
8.1 Εξισώσεις με έναν όρο…………………………………………………….. 197
3.5 Κλασματική παράγωγος ολοκληρώματος με παράμετρο…… 97
3.6 Ασκήσεις…………………………………………………………………… 102
Γενικευμένες συναρτήσεις – Ομαλοποίηση
και κλασματικοί τελεστές
4.1 Η έννοια της συνάρτησης…………………………. 105
4.2 Ομαλοποίηση ιδιομορφιών…………………………………………… 115
4.3 Κανονικοποίηση της …………………………………………… 122
4.4 Κλασματική παραγώγιση γενικευμένων συναρτήσεων…….. 126
4.5 Κλασματική παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης……………… 131
4.6 Ασκήσεις…………………………………………………………………… 132
5 Παράγωγος Caputo. Μετασχηματισμοί Fourier
και Laplace
5.1 Η παράγωγος Caputo…………………………………………………. 135
5.2 Ο μετασχηματισμός Laplace στον Κλασματικό Λογισμό…… 139
5.3 Ο μετασχηματισμός Fourier στον Κλασματικό Λογισμό….. 144
5.4 Ασκήσεις…………………………………………………………………… 147
6 Η συνάρτηση Mittag-Leffler
6.1 Ορισμοί…………………………………………………………………….. 151
6.2 Ο μετασχηματισμός η συνάρτηση Mittag-Leffler… 154
6.3 Η παραγώγιση της συνάρτησης Mittag-Leffler………………… 156
6.4 Η ολοκλήρωση της συνάρτησης Mittag-Leffler………………… 162
6.5 Φασματική ανάλυση του τελεστή …………………………… 164
6.6 Ασκήσεις…………………………………………………………………… 166
Εξισώσεις της κλασματικής ανάλυσης
7.1 Ακολουθιακή Παραγώγιση………………………… 169
7.2 Το πρόβλημα αρχικών τιμών………………………………………… 171
7.3 Ο πυρήνας του …………………………………………………….. 181
7.4 Ολοκληρωτικές Εξισώσεις……………………………………………. 183
7.5 Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις……………………………………. 188
7.6 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις…………………………………….. 193
7.7 Ασκήσεις…………………………………………………………………… 195
8 Μέθοδοι επίλυσης γραμμικών εξισώσεων
8.1 Εξισώσεις με έναν όρο………………………………………………… 197
8.2 Εξισώσεις με δύο όρους…………………………………………………… 198
8.3 Εξισώσεις με τρεις όρους………………………………………………….200
8.4 Γραμμικές εξισώσεις ……………………………………………………… 201
8.5 Ολοκλήρωση στοιχειωδών συναρτήσεων ……………………………….203
8.6 Παραγώγιση στοιχειωδών συναρτήσεων ………………………………. 207
8.7 Επίλυση της γραμμικής εξίσωσης ………………………………………. 215
8.8 Γραμμική ανεξαρτησία ……………………………………………………. 221
8.9 Αντιστροφή βασικών μετασχηματισμών Laplace …………………….229
8.10 Ασκήσεις……………………………………………………………………….233
9 ΙΔΙΟΜΟΡΦΙΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΟΛΑ
9.1 Η συνάρτηση Heaviside …………………………………………………….239
9.2 Η συμβατική θεωρία πολυπόλων ………………………………………..242
9.3 Η κλασματική θεωρία πολυπόλων ………………………………………249
9.4 Το ηλεκτροστατικό δυναμικό ενός 2a-πόλου………………………….254
9.5 Πεδία και Δυναμικά στον Ηλεκτρομαγνητισμό ………………………262
9.6 Ασκήσεις……………………………………………………………………….266
10 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
10.1 Μονοδιάστατη ροή θερμότητας………………………………………….. 267
10.2 Κλασματική διάχυση ……………………………………………………….269
10.3 Φαρμακοκινητική……………………………………………………………. 277
10.4 Φυσική των βιολογικών ιστών…………………………………………….288
10.5 Ένα πρότυπο μάθησης ……………………………………………………..290
10.6 Ασκήσεις……………………………………………………………………….298
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ
A Μετασχηματισμός Laplace και συνάρτηση συνέλιξης………………. 301
B Η συνάρτηση Γάμμα ………………………………………………………..303
Γ Η Συνάρτηση Βήτα ………………………………………………………….306
Δ Η Συνάρτηση Mittag-Leffler……………………………………………….308
Ε Στοιχεία Πολυαδικής Ανάλυσης …………………………………………. 311
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ…………………………………………………………………………………………. 325
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ…………………………………………………………………………………….329
ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ…………………………………………………………………………………………..340
8.2 Εξισώσεις με δύο όρους………………………………………………. 198
8.3 Εξισώσεις με τρεις όρους……………………………………………. 200
8.4 Γραμμικές εξισώσεις…………………………………………………… 201
8.5 Ολοκλήρωση στοιχειωδών συναρτήσεων………………………… 203
8.6 Παραγώγιση στοιχειωδών συναρτήσεων………………………… 207
8.7 Επίλυση της γραμμικής εξίσωσης…………………………………. 215
8.8 Γραμμική ανεξαρτησία……………………………………………….. 221
8.9 Αντιστροφή βασικών μετασχηματισμών Laplace……………… 229
8.10 Ασκήσεις…………………………………………………………………… 233
9 Ιδιομορφίες και πολύπολα
9.1 Η συνάρτηση Heaviside……………………………………………….. 239
9.2 Η συμβατική θεωρία πολυπόλων………………………………….. 242
9.3 Η κλασματική θεωρία πολυπόλων………………………………… 249
9.4 Το ηλεκτροστατικό δυναμικό ενός -πόλου………………….. 254
9.5 Πεδία και Δυναμικά στον Ηλεκτρομαγνητισμό……………….. 262
9.6 Ασκήσεις…………………………………………………………………… 266
10 Εφαρμογές του Κλασματικού Λογισμού
10.1 Μονοδιάστατη ροή θερμότητας……………………………………… 267
10.2 Κλασματική διάχυση…………………………………………………… 269
10.3 Φαρμακοκινητική……………………………………………………….. 277
10.4 Φυσική των βιολογικών ιστών……………………………………….. 288
10.5 Ένα πρότυπο μάθησης………………………………………………… 290
10.6 Ασκήσεις…………………………………………………………………… 298
Παράρτημα
A. Μετασχηματισμός Laplace και συνάρτηση συνέλιξης………. 301
B. Η συνάρτηση Γάμμα…………………………………………………… 303
Γ. Η συνάρτηση Βήτα……………………………………………………… 306
Δ. Η συνάρτηση Mittag-Leffler…………………………………………. 308
Ε. Στοιχεία Πολυαδικής Ανάλυσης……………………………………. 311
Τυπολόγιο……………………………………………………………………………325
Βιβλιογραφία……………………………………………………………………….329
Ευρετήριο……………………………………………………………………………339