Η σχετικιστική Κβαντική Θεωρία Πεδίου, που εξετάζεται σ’ αυτό το βιβλίο, είναι η βάση για την μελέτη των εξελίξεων στην Φυσική των στοιχειωδών σωματιδίων. Η έκθεση είναι σύντομη, καθώς αυτό το πόνημα απευθύνεται σε αρχάριους μεταπτυχιακούς φοιτητές ή προχωρημένους προπτυχιακούς φοιτητές με βασικές γνώσεις Κβαντικής Μηχανικής, Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων, Θεωρίας Ομάδων και Σχετικότητας.
Εξετάζονται τα στοιχεία τών θεωριών κβαντικών πεδίων που σχετίζονται με καθεμία από τις αλληλεπιδράσεις που εισέρχονται στο ΚΠ και τα αυθόρμητα πρότυπα θραύσης της συμμετρίας, δηλαδή το κλασικό φαινόμενο Higgs στο πλαίσιο της βαθμωτής ηλεκτροδυναμικής και σε μη αβελιανές συμμετρίες.
Η επόμενη μεγάλη ενότητα είναι η θεωρία της σκέδασης με παραδείγματα σε επίπεδο δένδρου (tree-level). Ακολουθεί ο κβαντισμός των πεδίων μέσω των λεγόμενων ολοκληρωμάτων διαδρομής, οι βασικές έννοιες και οι προϋποθέσεις για ”επανακανονικοποιησιμότητα” των θεωριών, και επίσης τα βασικά στοιχεία της λεγόμενης “ομάδας επανακανονικοποίησης” και εξομάλυνσης μιας θεωρίας.
Εκτός από τις διαταρακτικές θεωρίες γίνεται μια σύντομη περιγραφή μεθόδων των κβαντικών θεωριών σε χωροχρονικό πλέγμα. Ακολουθούν προχωρημένα θέματα, όπως οι χειραλικές ανωμαλίες, οι κρίσιμοι εκθέτες, ο μηχανισμός των Coleman και Weinberg και μια δυναμική ερμηνεία του φαινομένου σπασίματος της συμμετρίας. Τέλος περιγράφονται σύντομα σύμμορφες θεωρίες πεδίου, καθώς και ο φορμαλισμός θεωριών πεδίου σε πεπερασμένη θερμοκρασία και πραγματικό χρόνο.
1 Εισαγωγή 11
1.1 Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων Σήμερα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Δομή και επίπεδο βιβλίου, προτεινόμενη διεθνής βιβλιογραφία . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Σύστημα Mονάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Υπόβαθρο 19
2.1 Στοιχεία Ειδικής Σχετικότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Ιστορική Σημείωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Aναλλοίωτα Διαστήματα και Κοσμικές Γραμμές (Invariant Intervals and
World Lines) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3 Αρχή της “Ακραίας γήρανσης” (Principle of Extremal Aging) και νόμοι διατήρησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.4 Αναλλοίωτη μάζα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.5 Συναλλοίωτη (Covariant) διατύπωση της Ειδικής Σχετικότητας . . . . . . . . 25
2.1.6 Συγκρούσεις σωματιδίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.7 Ηλεκτρομαγνητισμός στον συναλλοίωτο φορμαλισμό . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Συμμετρίες – ομάδες Lie: σύντομη ανασκόπηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Μαθηματικά αξιώματα ομάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Αναπαραστάσεις ομάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3 Ομάδες καί άλγεβρες Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.4 Παραδείγματα ομάδων με φυσική σημασία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Σύντομη επισκόπηση της Φυσικής των σωματιδίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.1 Θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις και νόμοι διατήρησης . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.2 Ταξινόμηση σωματιδίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Kλασσική Θεωρία Πεδίου 55
3.1 Η Αρχή της Ελάχιστης Δράσης (Action Principle) – εξισώσεις Lagrange . . . . . . . 55
3.1.1 Εξισώσεις Lagrange στην Κλασική Μηχανική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3
4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
3.1.2 Εξισώσεις Lagrange στη (σχετικιστική) θεωρία πεδίου . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Παραδείγματα σχετικιστικών θεωριών πεδίου με φυσική σημασία . . . . . . . . . . 59
3.2.1 Βαθμωτά πεδία – η εξίσωση Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2 Φερμιονικά, (spin- 1
2
) πεδία – η εξίσωση Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.3 Διανυσματικά σωματίδια εσωτερικής στροφορμής (spin) 1 . . . . . . . . . . . 71
3.3 Νόμοι διατήρησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.1 Θεώρημα της Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.2 Θεώρημα της Noether στην Κλασσική Θεωρία Πεδίου . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.3 Χωροχρονικές συμμετρίες και τα σχετικά διατηρούμενα ρεύματα Noether . 80
3.3.4 Νόμοι διατήρησης στην κβαντική φυσική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4 Αλληλεπιδρώσες θεωρίες πεδίου και συμμετρίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.1 Αλληλεπιδρώσες θεωρίες βαθμωτών πεδίων και εσωτερικές (Internal) συμμετρίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.2 Η μέθοδος Gell-Mann-Levy για την λήψη του διατηρούμενου ρεύματος Noether
και της συναλλοίωτης τετρααπόκλισής του (covariant divergence) σε περίπτωση μη ακριβούς συμμετρίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4.3 Αυθόρμητη θραύση μιας συνεχούς συμμετρίας- το θεώρημα του Goldstone . . 94
3.4.4 Αυθόρμητη θραύση μιας ολικής Aβελιανής συμμετρίας: Το μοντέλο Goldstone 96
3.4.5 Αυθόρμητη θραύση μιας ολικής μη-Αβελιανής συμμετρίας . . . . . . . . . . . 98
3.4.6 Μερικές ολικές συμμετρίες που ενδιαφέρουν τη σωματιδιακή φυσική . . . . 102
3.5 Τοπικές συμμετρίες βαθμίδας και η αυθόρμητη θραύση τους . . . . . . . . . . . . . . 109
3.5.1 Κβαντική Ηλεκτροδυναμική και Αβελιανή συμμετρία βαθμίδας U(1) . . . . . 110
3.5.2 Βαθμωτή Ηλεκτροδυναμική (Scalar Electrodynamics) και Αβελιανή συμμετρία βαθμίδας U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.5.3 Αυθόρμητη θραύση τοπικής συμμετρίας U(1) (μοντέλο Higgs) και το φαινόμενο της υπεραγωγιμότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.5.4 Μη-Αβελιανές συμμετρίες βαθμίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.5.5 Αυθόρμητη θραύση μη-Αβελιανών συμμετριών βαθμίδας . . . . . . . . . . . . 120
3.6 Η Λαγκρανζιανή του Καθιερωμένου Προτύπου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.6.1 Το Μοντέλο Ηλεκτρασθενούς Ενοποίησης των Glashow, Salam and Weinberg
(GSW) – Λεπτόνια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.6.2 Συμπεριλαμβάνοντας τα αδρόνια, και ”συμμετρία” κουάρκ-λεπτονίων . . . . 130
3.6.3 Ισχυρές αλληλεπιδράσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.6.4 Μοτίβα θραύσης συμμετρίας στο Καθιερωμένο Πρότυπο . . . . . . . . . . . . 136
3.7 Διακριτές συμμετρίες C,P,T στο Καθιερωμένο Πρότυπο – θεώρημα CPT . . . . . . . 138
3.7.1 Μετασχηματισμός ισοτιμίας (Parity, P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5
3.7.2 Αναστροφή Χρόνου (Time Reversal, T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.7.3 Σύζυγία Φορτίου (Charge Conjugation, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.7.4 Διακριτές συμμετρίες και σπίνορες Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.7.5 Το θεώρημα CPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4 Δεύτερη Κβάντωση 149
4.1 Γραμμική αλυσίδα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.1.1 Κλασική αντιμετώπιση της γραμμικής αλυσίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.1.2 Κβάντωση της γραμμικής αλυσίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.2 Συνεχές όριο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.2.1 Κλασική χορδή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.2.2 Κβαντική χορδή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.3 Κβάντωση της εξίσωσης του Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.3.1 Εφαρμογές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.4 Δυναμικές μεταβλητές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.5 Σύνδεση με τα ταυτοτικά σωματίδια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5 Κβάντωση ελεύθερων πεδίων 165
5.1 Βαθμωτά πεδία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.1.1 Αντισωματίδια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.1.2 Βαθμωτό πραγματικό πεδίο: Κβάντωση και ανάπτυγμα Fourier . . . . . . . 168
5.1.3 Χώρος του Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.1.4 Μιγαδικό βαθμωτό πεδίο: Αντισωματίδια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.1.5 Διαδότες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.2 Φερμιονικό πεδίο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.2.1 Ανάπτυγμα Fourier και κβάντωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.2.2 Φερμιονικός διαδότης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.3 Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.3.1 Κλασική θεωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.3.2 Βαθμίδα του Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.3.3 Κβάντωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.3.4 Εναλλακτική διατύπωση της κλασικής Ηλεκτροδυναμικής. . . . . . . . . . . . 185
5.3.5 Διαδότης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.6 Ανάπτυγμα του Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.7 Παρατηρήσεις σχετικά με τον διαδότη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.3.8 Κανόνες Feynman για τα φωτόνια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
6 Εικόνες 193
6.1 Εικόνες στην Κβαντική Μηχανική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.1.1 Εικόνα του Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.1.2 Εικόνα του Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.1.3 Εικόνα της αλληλεπίδρασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.2 Ακτινοβολία: παράδειγμα χρήσης της εικόνας αλληλεπίδρασης. . . . . . . . . . . . . 195
6.3 Λύση της εξίσωσης i
d
dtUI (t) = Hˆ ′
I
(t)UI (t) : Ανάπτυγμα του Dyson . . . . . . . . . . . 196
6.4 Πίνακας σκέδασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7 Θεώρημα του Wick και εφαρμογές 201
7.1 Θεώρημα του Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.2 Εφαρμογή του θεωρήματος Wick: Σκέδαση μποζονίων . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.3 Εφαρμογή του θεωρήματος του Wick: διάσπαση σωματιδίου . . . . . . . . . . . . . 210
7.4 Κανονικοποιημένες κυματοσυναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.5 Υπολογισμοί στοιχείων πίνακα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.6 Εφαρμογή του θεωρήματος Wick: σκέδαση φερμιονίων . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.7 Διαγράμματα Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.7.1 Γραφική παράσταση των διαγραμμάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.7.2 Τιμή των διαγραμμάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.8 Εικονικά σωματίδια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.9 Δοκιμές του καθιερωμένου προτύπου: Υπολογίζοντας πλάτη σκέδασης . . . . . . . 229
7.9.1 Γενικές έννοιες και μέθοδοι στην κβαντική θεωρία σκέδασης . . . . . . . . . . 229
7.9.2 Εξίσωση Lehmann-Symanzik-Zimmermann (LSZ) για τα πλάτη Κβαντικής
Σκέδασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.9.3 Σκέδαση σε επίπεδο δένδρου (Tree-level scattering) στην Κβαντική Ηλεκτροδυναμική και αντιστοιχία με την κλασική Φυσική . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.9.4 Σκέδαση στις ασθενείς αλληλεπιδράσεις και το Καθιερωμένο Πρότυπο . . . 249
7.10 Μοναδιαία Πλάτη Σκέδασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8 Ολοκληρώματα διαδρομής 263
8.1 Ολοκλήρωμα διαδρομής στην Κβαντική Μηχανική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.2 Ολοκληρώματα διαδρομής ελεύθερων βαθμωτών πεδίων . . . . . . . . . . . . . . . . 267
8.3 Ολοκληρώματα διαδρομής αλληλεπιδρώντων βαθμωτών πεδίων . . . . . . . . . . . 271
8.3.1 Επανεξέταση της θεωρίας σκέδασης – ο μη τετριμμένος ρόλος μόνο των
συνδεδεμένων γραφημάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
8.3.2 Διορθώσεις βρόχου στον (βαθμωτό) διαδότη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7
8.3.3 Αυτοενέργεια της (επανακανονικοποιήσιμης) θεωρίας ϕ
3 σε έξι διαστάσεις . 293
8.3.4 Διορθώσεις βρόχου στην κορυφή της εξαδιάστατης θεωρίας ϕ
3
. . . . . . . . 294
8.3.5 Μια σύντομη σημείωση για τις υπέρυθρες (infrared (IR)) απειρίες . . . . . . 298
8.4 Ομάδα Επανακανονικοποίησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
8.4.1 Πρελούδιο στη προσέγγιση της Ομάδας Επανακανονικοποίησης: Σχήμα ελάχιστης αφαίρεσης για την αυτοενέργεια της εξαδιάστατης θεωρίας ϕ
3
. . . . 300
8.4.2 Οι βασικές ιδέες και έννοιες της Ομάδας Επανακανονικοποίησης . . . . . . . 302
8.5 Ολοκληρώματα διαδρομής για μιγαδικά βαθμωτά πεδία . . . . . . . . . . . . . . . . 308
8.6 Ολοκληρώματα διαδρομής για πεδία φερμιονίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
8.6.1 Ολοκληρώματα διαδρομής για φερμιόνια Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
8.6.2 Ολοκληρώματα διαδρομής για φερμιόνια Majorana . . . . . . . . . . . . . . . 310
8.7 Ολοκληρώματα διαδρομής για θεωρίες βαθμίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
8.7.1 Αβελιανές θεωρίες βαθμίδας: Ολοκλήρωμα διαδρομής για φωτόνια . . . . . . 318
8.7.2 Μη-Αβελιανές θεωρίες βαθμίδας: σύντομα σχόλια . . . . . . . . . . . . . . . 320
8.8 Ενεργές Θεωρίες Πεδίου (Effective Field Theories) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
9 Χειραλική ανωμαλία 333
9.1 Παραβίαση του χειραλικού ρεύματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
9.2 Το Ανώμαλο Τρίγωνο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
9.3 Ακύρωση της ανωμαλίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
9.4 Αλλες εφαρμογές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
9.4.1 Οι ιδιοτιμές του τελεστή Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
9.4.2 Κβαντική Χρωμοδυναμική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
10 Θεωρίες Υang-Mills 349
10.1 Κανόνες Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
10.2 Διαγράμματα ενός βρόχου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
10.3 Επανακανονικοποίηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
10.4 Συνάρτηση β και Τροχιές Επανακανονικοποίησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
10.5 Δράση στο πλέγμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
10.5.1 Αβελιανό πεδίο βαθμίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
10.5.2 Ασθενής ζεύξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
10.5.3 Βρόχος του Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
10.5.4 Ισχυρή ζεύξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
10.5.5 Μη αβελιανά πεδία βαθμίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.5.6 Ασθενής ζεύξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
10.5.7 Ισχυρή ζεύξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
10.6 Η ενεργός χορδή και ο όρος Lüscher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
11 Θεωρία ϕ
4 379
11.1 Ανώμαλες διαστάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
11.1.1 Τροχιές Επανακανονικοποίησης (RG flows) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
11.1.2 Σημείο Wilson-Fisher και κρίσιμοι εκθέτες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
11.1.3 Υπολογισμός των Κρίσιμων Εκθετών γ και η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
11.1.4 Ανάμειξη Τελεστών και Περιττοί Τελεστές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
11.2 Τελεστές υψηλής διάστασης και η αστάθεια Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . 395
11.3 Επανακανονικοποιησιμότητα – ή μή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
12 Ο Κβαντικός Μηχανισμός Higgs 411
12.1 Το Κβαντικό Ενεργό Δυναμικό . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
12.1.1 Η ϕ
4 θεωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
12.1.2 Βαθμωτή Ηλεκτροδυναμική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
12.1.3 Το άμαζο όριο και ο μηχανισμός Coleman-Weinberg . . . . . . . . . . . . . . . 423
12.2 Βαθμωτή Ηλεκτροδυναμική στη Μοναδιαία Βαθμίδα . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
12.2.1 Γυρίνοι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
12.2.2 Μάζα του Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
12.2.3 Μάζα του Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
12.2.4 Η τριπλή κορυφή του Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
12.2.5 Η τετραπλή κορυφή του Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
12.2.6 Επανακανονικοποίηση του Δυναμικού Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
12.2.7 Οι συναρτήσεις β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
13 Σύμμορφη Θεωρία Πεδίου 447
13.1 Η σύμμορφη ομάδα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
13.2 Συσχετιστές 2 και 3 βαθμωτών τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
13.2.1 Ο συσχετιστής Σ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
13.2.2 Το θεώρημα-c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
13.2.3 Ο συσχετιστής Σ3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
13.3 Συσχετιστής N βαθμωτών τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
13.4 Ο τανυστής Ενέργειας-Ορμής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
13.5 Κρίσιμοι Εκθέτες από την Σύμμορφη Θεωρία Πεδίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
14 Θερμοκρασία σε πραγματικό χρόνο 501
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9
14.1 Το ολοκλήρωμα διαδρομής Schwinger-Keldysh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
14.2 Θερμοκρασία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
14.2.1 Ο θερμικός διαδότης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
14.3 Η βάση των σύμφωνων καταστάσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
15 Επίλογος 523
16 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ 525
16.1 Α: Σπινοριακή (Spinor) Αναπαράσταση της ομάδας Lorentz . . . . . . . . . . . . . . 525
16.2 Β: Ταυτότητες πινάκων γ του Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
16.3 Γ: Υπολογισμός Ολοκληρωμάτων Ορμής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
16.3.1 Παράμετροι Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
16.3.2 Περιστροφή Wick και υπολογισμός ολοκληρωμάτων ορμής . . . . . . . . . . 530
16.3.3 Διαστατική Εξομάλυνση – Βασικοί Μαθηματικοί τύποι . . . . . . . . . . . . 533
16.3.4 Παράγοντες Συμμετρίας διαγραμμάτων Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . 536
16.3.5 Το λεξιλόγιο Passarino − Veltman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
16.3.6 U-ολοκληρώματα σε Γυρίνους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
16.3.7 U-ολοκληρώματα σε διορθώσεις μάζας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
16.3.8 U-ολοκληρώματα σε Τρίγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
16.3.9 U-ολοκληρώματα σε Τετράγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
16.4 Δ: Διακριτές ομάδες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
16.4.1 Διεδρικές ομάδες και η περιστροφική συμμετρία κανονικών πολυγώνων . . . 549
16.4.2 Συμμετρία κανονικών στερεών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
16.5 Ε: Συνεχείς ομάδες Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
16.5.1 Η γεωμετρία των ομάδων Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
16.5.2 Κατηγοριοποίηση των ημι-απλών αλγεβρών Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
16.5.3 Αναπαραστάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
16.5.4 Ολοκληρώματα και χαρακτήρες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
16.5.5 Κατασκευή αναπαραστάσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587