1 Εισαγωγή 11
1.1 Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων Σήμερα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Δομή και επίπεδο βιβλίου, προτεινόμενη διεθνής βιβλιογραφία . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Σύστημα Mονάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Υπόβαθρο 19
2.1 Στοιχεία Ειδικής Σχετικότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.1 Ιστορική Σημείωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.2 Aναλλοίωτα Διαστήματα και Κοσμικές Γραμμές (Invariant Intervals and
World Lines) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3 Αρχή της “Ακραίας γήρανσης” (Principle of Extremal Aging) και νόμοι διατήρησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.1.4 Αναλλοίωτη μάζα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.1.5 Συναλλοίωτη (Covariant) διατύπωση της Ειδικής Σχετικότητας . . . . . . . . 25
2.1.6 Συγκρούσεις σωματιδίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.7 Ηλεκτρομαγνητισμός στον συναλλοίωτο φορμαλισμό . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Συμμετρίες – ομάδες Lie: σύντομη ανασκόπηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.1 Μαθηματικά αξιώματα ομάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.2 Αναπαραστάσεις ομάδων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.2.3 Ομάδες καί άλγεβρες Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.4 Παραδείγματα ομάδων με φυσική σημασία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Σύντομη επισκόπηση της Φυσικής των σωματιδίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.1 Θεμελιώδεις αλληλεπιδράσεις και νόμοι διατήρησης . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.2 Ταξινόμηση σωματιδίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Kλασσική Θεωρία Πεδίου 55
3.1 Η Αρχή της Ελάχιστης Δράσης (Action Principle) – εξισώσεις Lagrange . . . . . . . 55
3.1.1 Εξισώσεις Lagrange στην Κλασική Μηχανική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3
4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
3.1.2 Εξισώσεις Lagrange στη (σχετικιστική) θεωρία πεδίου . . . . . . . . . . . . . 58
3.2 Παραδείγματα σχετικιστικών θεωριών πεδίου με φυσική σημασία . . . . . . . . . . 59
3.2.1 Βαθμωτά πεδία – η εξίσωση Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2.2 Φερμιονικά, (spin- 1
2
) πεδία – η εξίσωση Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.3 Διανυσματικά σωματίδια εσωτερικής στροφορμής (spin) 1 . . . . . . . . . . . 71
3.3 Νόμοι διατήρησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.1 Θεώρημα της Noether . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.2 Θεώρημα της Noether στην Κλασσική Θεωρία Πεδίου . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.3 Χωροχρονικές συμμετρίες και τα σχετικά διατηρούμενα ρεύματα Noether . 80
3.3.4 Νόμοι διατήρησης στην κβαντική φυσική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4 Αλληλεπιδρώσες θεωρίες πεδίου και συμμετρίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.1 Αλληλεπιδρώσες θεωρίες βαθμωτών πεδίων και εσωτερικές (Internal) συμμετρίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.4.2 Η μέθοδος Gell-Mann-Levy για την λήψη του διατηρούμενου ρεύματος Noether
και της συναλλοίωτης τετρααπόκλισής του (covariant divergence) σε περίπτωση μη ακριβούς συμμετρίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.4.3 Αυθόρμητη θραύση μιας συνεχούς συμμετρίας- το θεώρημα του Goldstone . . 94
3.4.4 Αυθόρμητη θραύση μιας ολικής Aβελιανής συμμετρίας: Το μοντέλο Goldstone 96
3.4.5 Αυθόρμητη θραύση μιας ολικής μη-Αβελιανής συμμετρίας . . . . . . . . . . . 98
3.4.6 Μερικές ολικές συμμετρίες που ενδιαφέρουν τη σωματιδιακή φυσική . . . . 102
3.5 Τοπικές συμμετρίες βαθμίδας και η αυθόρμητη θραύση τους . . . . . . . . . . . . . . 109
3.5.1 Κβαντική Ηλεκτροδυναμική και Αβελιανή συμμετρία βαθμίδας U(1) . . . . . 110
3.5.2 Βαθμωτή Ηλεκτροδυναμική (Scalar Electrodynamics) και Αβελιανή συμμετρία βαθμίδας U(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.5.3 Αυθόρμητη θραύση τοπικής συμμετρίας U(1) (μοντέλο Higgs) και το φαινόμενο της υπεραγωγιμότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.5.4 Μη-Αβελιανές συμμετρίες βαθμίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.5.5 Αυθόρμητη θραύση μη-Αβελιανών συμμετριών βαθμίδας . . . . . . . . . . . . 120
3.6 Η Λαγκρανζιανή του Καθιερωμένου Προτύπου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.6.1 Το Μοντέλο Ηλεκτρασθενούς Ενοποίησης των Glashow, Salam and Weinberg
(GSW) – Λεπτόνια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.6.2 Συμπεριλαμβάνοντας τα αδρόνια, και ”συμμετρία” κουάρκ-λεπτονίων . . . . 130
3.6.3 Ισχυρές αλληλεπιδράσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.6.4 Μοτίβα θραύσης συμμετρίας στο Καθιερωμένο Πρότυπο . . . . . . . . . . . . 136
3.7 Διακριτές συμμετρίες C,P,T στο Καθιερωμένο Πρότυπο – θεώρημα CPT . . . . . . . 138
3.7.1 Μετασχηματισμός ισοτιμίας (Parity, P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 5
3.7.2 Αναστροφή Χρόνου (Time Reversal, T ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.7.3 Σύζυγία Φορτίου (Charge Conjugation, C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.7.4 Διακριτές συμμετρίες και σπίνορες Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3.7.5 Το θεώρημα CPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4 Δεύτερη Κβάντωση 149
4.1 Γραμμική αλυσίδα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.1.1 Κλασική αντιμετώπιση της γραμμικής αλυσίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4.1.2 Κβάντωση της γραμμικής αλυσίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.2 Συνεχές όριο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.2.1 Κλασική χορδή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.2.2 Κβαντική χορδή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.3 Κβάντωση της εξίσωσης του Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.3.1 Εφαρμογές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.4 Δυναμικές μεταβλητές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.5 Σύνδεση με τα ταυτοτικά σωματίδια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5 Κβάντωση ελεύθερων πεδίων 165
5.1 Βαθμωτά πεδία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.1.1 Αντισωματίδια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.1.2 Βαθμωτό πραγματικό πεδίο: Κβάντωση και ανάπτυγμα Fourier . . . . . . . 168
5.1.3 Χώρος του Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
5.1.4 Μιγαδικό βαθμωτό πεδίο: Αντισωματίδια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.1.5 Διαδότες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
5.2 Φερμιονικό πεδίο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.2.1 Ανάπτυγμα Fourier και κβάντωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
5.2.2 Φερμιονικός διαδότης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.3 Ηλεκτρομαγνητικό πεδίο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.3.1 Κλασική θεωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.3.2 Βαθμίδα του Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
5.3.3 Κβάντωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.3.4 Εναλλακτική διατύπωση της κλασικής Ηλεκτροδυναμικής. . . . . . . . . . . . 185
5.3.5 Διαδότης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.6 Ανάπτυγμα του Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.7 Παρατηρήσεις σχετικά με τον διαδότη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.3.8 Κανόνες Feynman για τα φωτόνια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
6 Εικόνες 193
6.1 Εικόνες στην Κβαντική Μηχανική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.1.1 Εικόνα του Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.1.2 Εικόνα του Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.1.3 Εικόνα της αλληλεπίδρασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
6.2 Ακτινοβολία: παράδειγμα χρήσης της εικόνας αλληλεπίδρασης. . . . . . . . . . . . . 195
6.3 Λύση της εξίσωσης i
d
dtUI (t) = Hˆ ′
I
(t)UI (t) : Ανάπτυγμα του Dyson . . . . . . . . . . . 196
6.4 Πίνακας σκέδασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
7 Θεώρημα του Wick και εφαρμογές 201
7.1 Θεώρημα του Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
7.2 Εφαρμογή του θεωρήματος Wick: Σκέδαση μποζονίων . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
7.3 Εφαρμογή του θεωρήματος του Wick: διάσπαση σωματιδίου . . . . . . . . . . . . . 210
7.4 Κανονικοποιημένες κυματοσυναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
7.5 Υπολογισμοί στοιχείων πίνακα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.6 Εφαρμογή του θεωρήματος Wick: σκέδαση φερμιονίων . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.7 Διαγράμματα Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.7.1 Γραφική παράσταση των διαγραμμάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.7.2 Τιμή των διαγραμμάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.8 Εικονικά σωματίδια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.9 Δοκιμές του καθιερωμένου προτύπου: Υπολογίζοντας πλάτη σκέδασης . . . . . . . 229
7.9.1 Γενικές έννοιες και μέθοδοι στην κβαντική θεωρία σκέδασης . . . . . . . . . . 229
7.9.2 Εξίσωση Lehmann-Symanzik-Zimmermann (LSZ) για τα πλάτη Κβαντικής
Σκέδασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.9.3 Σκέδαση σε επίπεδο δένδρου (Tree-level scattering) στην Κβαντική Ηλεκτροδυναμική και αντιστοιχία με την κλασική Φυσική . . . . . . . . . . . . . . . . 236
7.9.4 Σκέδαση στις ασθενείς αλληλεπιδράσεις και το Καθιερωμένο Πρότυπο . . . 249
7.10 Μοναδιαία Πλάτη Σκέδασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8 Ολοκληρώματα διαδρομής 263
8.1 Ολοκλήρωμα διαδρομής στην Κβαντική Μηχανική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
8.2 Ολοκληρώματα διαδρομής ελεύθερων βαθμωτών πεδίων . . . . . . . . . . . . . . . . 267
8.3 Ολοκληρώματα διαδρομής αλληλεπιδρώντων βαθμωτών πεδίων . . . . . . . . . . . 271
8.3.1 Επανεξέταση της θεωρίας σκέδασης – ο μη τετριμμένος ρόλος μόνο των
συνδεδεμένων γραφημάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
8.3.2 Διορθώσεις βρόχου στον (βαθμωτό) διαδότη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7
8.3.3 Αυτοενέργεια της (επανακανονικοποιήσιμης) θεωρίας ϕ
3 σε έξι διαστάσεις . 293
8.3.4 Διορθώσεις βρόχου στην κορυφή της εξαδιάστατης θεωρίας ϕ
3
. . . . . . . . 294
8.3.5 Μια σύντομη σημείωση για τις υπέρυθρες (infrared (IR)) απειρίες . . . . . . 298
8.4 Ομάδα Επανακανονικοποίησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
8.4.1 Πρελούδιο στη προσέγγιση της Ομάδας Επανακανονικοποίησης: Σχήμα ελάχιστης αφαίρεσης για την αυτοενέργεια της εξαδιάστατης θεωρίας ϕ
3
. . . . 300
8.4.2 Οι βασικές ιδέες και έννοιες της Ομάδας Επανακανονικοποίησης . . . . . . . 302
8.5 Ολοκληρώματα διαδρομής για μιγαδικά βαθμωτά πεδία . . . . . . . . . . . . . . . . 308
8.6 Ολοκληρώματα διαδρομής για πεδία φερμιονίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
8.6.1 Ολοκληρώματα διαδρομής για φερμιόνια Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
8.6.2 Ολοκληρώματα διαδρομής για φερμιόνια Majorana . . . . . . . . . . . . . . . 310
8.7 Ολοκληρώματα διαδρομής για θεωρίες βαθμίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
8.7.1 Αβελιανές θεωρίες βαθμίδας: Ολοκλήρωμα διαδρομής για φωτόνια . . . . . . 318
8.7.2 Μη-Αβελιανές θεωρίες βαθμίδας: σύντομα σχόλια . . . . . . . . . . . . . . . 320
8.8 Ενεργές Θεωρίες Πεδίου (Effective Field Theories) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
9 Χειραλική ανωμαλία 333
9.1 Παραβίαση του χειραλικού ρεύματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
9.2 Το Ανώμαλο Τρίγωνο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
9.3 Ακύρωση της ανωμαλίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
9.4 Αλλες εφαρμογές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
9.4.1 Οι ιδιοτιμές του τελεστή Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
9.4.2 Κβαντική Χρωμοδυναμική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
10 Θεωρίες Υang-Mills 349
10.1 Κανόνες Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
10.2 Διαγράμματα ενός βρόχου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
10.3 Επανακανονικοποίηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
10.4 Συνάρτηση β και Τροχιές Επανακανονικοποίησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
10.5 Δράση στο πλέγμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
10.5.1 Αβελιανό πεδίο βαθμίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
10.5.2 Ασθενής ζεύξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
10.5.3 Βρόχος του Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
10.5.4 Ισχυρή ζεύξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
10.5.5 Μη αβελιανά πεδία βαθμίδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
10.5.6 Ασθενής ζεύξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
10.5.7 Ισχυρή ζεύξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
10.6 Η ενεργός χορδή και ο όρος Lüscher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
11 Θεωρία ϕ
4 379
11.1 Ανώμαλες διαστάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
11.1.1 Τροχιές Επανακανονικοποίησης (RG flows) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
11.1.2 Σημείο Wilson-Fisher και κρίσιμοι εκθέτες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
11.1.3 Υπολογισμός των Κρίσιμων Εκθετών γ και η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
11.1.4 Ανάμειξη Τελεστών και Περιττοί Τελεστές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
11.2 Τελεστές υψηλής διάστασης και η αστάθεια Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . 395
11.3 Επανακανονικοποιησιμότητα – ή μή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
12 Ο Κβαντικός Μηχανισμός Higgs 411
12.1 Το Κβαντικό Ενεργό Δυναμικό . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
12.1.1 Η ϕ
4 θεωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
12.1.2 Βαθμωτή Ηλεκτροδυναμική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
12.1.3 Το άμαζο όριο και ο μηχανισμός Coleman-Weinberg . . . . . . . . . . . . . . . 423
12.2 Βαθμωτή Ηλεκτροδυναμική στη Μοναδιαία Βαθμίδα . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
12.2.1 Γυρίνοι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
12.2.2 Μάζα του Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
12.2.3 Μάζα του Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
12.2.4 Η τριπλή κορυφή του Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
12.2.5 Η τετραπλή κορυφή του Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
12.2.6 Επανακανονικοποίηση του Δυναμικού Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
12.2.7 Οι συναρτήσεις β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
13 Σύμμορφη Θεωρία Πεδίου 447
13.1 Η σύμμορφη ομάδα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
13.2 Συσχετιστές 2 και 3 βαθμωτών τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
13.2.1 Ο συσχετιστής Σ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
13.2.2 Το θεώρημα-c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
13.2.3 Ο συσχετιστής Σ3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
13.3 Συσχετιστής N βαθμωτών τελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
13.4 Ο τανυστής Ενέργειας-Ορμής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
13.5 Κρίσιμοι Εκθέτες από την Σύμμορφη Θεωρία Πεδίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
14 Θερμοκρασία σε πραγματικό χρόνο 501
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9
14.1 Το ολοκλήρωμα διαδρομής Schwinger-Keldysh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
14.2 Θερμοκρασία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
14.2.1 Ο θερμικός διαδότης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
14.3 Η βάση των σύμφωνων καταστάσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
15 Επίλογος 523
16 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ 525
16.1 Α: Σπινοριακή (Spinor) Αναπαράσταση της ομάδας Lorentz . . . . . . . . . . . . . . 525
16.2 Β: Ταυτότητες πινάκων γ του Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
16.3 Γ: Υπολογισμός Ολοκληρωμάτων Ορμής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
16.3.1 Παράμετροι Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
16.3.2 Περιστροφή Wick και υπολογισμός ολοκληρωμάτων ορμής . . . . . . . . . . 530
16.3.3 Διαστατική Εξομάλυνση – Βασικοί Μαθηματικοί τύποι . . . . . . . . . . . . 533
16.3.4 Παράγοντες Συμμετρίας διαγραμμάτων Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . 536
16.3.5 Το λεξιλόγιο Passarino − Veltman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
16.3.6 U-ολοκληρώματα σε Γυρίνους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
16.3.7 U-ολοκληρώματα σε διορθώσεις μάζας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
16.3.8 U-ολοκληρώματα σε Τρίγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
16.3.9 U-ολοκληρώματα σε Τετράγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
16.4 Δ: Διακριτές ομάδες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
16.4.1 Διεδρικές ομάδες και η περιστροφική συμμετρία κανονικών πολυγώνων . . . 549
16.4.2 Συμμετρία κανονικών στερεών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553
16.5 Ε: Συνεχείς ομάδες Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555
16.5.1 Η γεωμετρία των ομάδων Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562
16.5.2 Κατηγοριοποίηση των ημι-απλών αλγεβρών Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
16.5.3 Αναπαραστάσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
16.5.4 Ολοκληρώματα και χαρακτήρες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
16.5.5 Κατασκευή αναπαραστάσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587