ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ;

I ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
§1. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕ ΑΚΕΡΑΙΟΥΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. Οι νόμοι της αριθμητικής. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Η αναπαράσταση των ακεραίων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Υπολογισμοί σε συστήματα διαφορετικά από το δεκαδικό . . . . . . . . . . . . . . 8
§2. Η ΑΠΕΙΡΙΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΡΙΘΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ
ΕΠΑΓΩΓΗ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1. Η αρχή της μαθηματικής επαγωγής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Η αριθμητική πρόοδος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Η γεωμετρική πρόοδος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4. Το άθροισμα των πρώτων 𝑛 τετραγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
*5. Μια σημαντική ανισότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
*6. Το διωνυμικό θεώρημα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
*7. Επιπλέον σχόλια για τη μαθηματική επαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ I Η ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ . . . . . . . . . . . . . 23
§1. ΟΙ ΠΡΩΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1. Θεμελιώδη στοιχεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. Η κατανομή των πρώτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
§2. ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1. Γενικές έννοιες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2. Θεώρημα του Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3. Τετραγωνικά υπόλοιπα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
§3. ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ
ΤΟΥ FERMAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
§4. Ο ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1. Γενική θεωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2. Εφαρμογή στο θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3. Η συνάρτηση 𝜑 του Euler. Το θεώρημα του Fermat ξανά . . . . . . . . . . . . . . 52
4. Συνεχή κλάσματα. Διοφαντικές εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
II ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
§1. ΟΙ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1. Οι ρητοί αριθμοί ως μέσο μέτρησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2. Εγγενής ανάγκη για τους ρητούς αριθμούς. Αρχή της γενίκευσης . . . . . . . 59
xxviii Περιεχόμενα
3. Γεωμετρική ερμηνεία των ρητών αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62
§2. ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΤΜΗΜΑΤΑ, ΑΡΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ,
ΚΑΙ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1. Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2. Δεκαδικά κλάσματα. Άπειροι δεκαδικοί αριθμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3. Όρια. Άπειρη γεωμετρική σειρά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4. Ρητοί αριθμοί και περιοδικοί δεκαδικοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5. Γενικός ορισμός των άρρητων αριθμών μέσω
εγκιβωτισμένων διαστημάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
*6. Εναλλακτικές μέθοδοι ορισμού των άρρητων αριθμών.
Τομές Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
§3. ΣΧΟΛΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1. Η βασική αρχή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
*2. Εξισώσεις ευθειών και καμπυλών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
§4. Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1. Θεμελιώδεις έννοιες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2. Η αριθμησιμότητα των ρητών αριθμών και η μη αριθμησιμότητα
του συνεχούς . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3. Οι «πληθικοί αριθμοί» του Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4. Η έμμεση μέθοδος απόδειξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5. Τα παράδοξα του απείρου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6. Τα θεμέλια των μαθηματικών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
§5. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
1. Η προέλευση των μιγαδικών αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2. Η γεωμετρική ερμηνεία των μιγαδικών αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3. Τύπος του De Moivre και οι ρίζες της μονάδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
*4. Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
*§6. ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΙ ΚΑΙ ΥΠΕΡΒΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1. Ορισμός και ύπαρξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
**2. Θεώρημα του Liouville και η κατασκευή υπερβατικών αριθμών . . . . . . . 113
ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II Η ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ . . . . 118
1. Ορισμός και ύπαρξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2. Εφαρμογή στη μαθηματική λογική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3. Μια εφαρμογή στη θεωρία πιθανοτήτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
III ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ. Η ΑΛΓΕΒΡΑ
ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
§1. ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
1. Κατασκευή σωμάτων και εξαγωγή τετραγωνικής ρίζας . . . . . . . . . . . . . . . 132
2. Κανονικά πολύγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
*3. Το πρόβλημα του Απολλώνιου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
*§2. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΩΜΑΤΑ . . . . . . . . 140
1. Γενική θεωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Περιεχόμενα xxix
2. Όλοι οι κατασκευάσιμοι αριθμοί είναι αλγεβρικοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
*§3. Η ΜΗ ΕΠΙΛΥΣΙΜΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΤΡΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
1. Διπλασιασμός του κύβου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2. Ένα θεώρημα περί κυβικών εξισώσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3. Τριχοτόμηση της γωνίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4. Το κανονικό επτάγωνο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
5. Σχόλια για το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου . . . . . . . . . . . . . 154
§4. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ . . . . . . . . . . . . . . 155
1. Γενικές παρατηρήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
2. Ιδιότητες της αντιστροφής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3. Γεωμετρική κατασκευή αντίστροφων σημείων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4. Πώς να διχοτομήσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα και να βρούμε
το κέντρο ενός κύκλου μόνο με τον διαβήτη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
§5. ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΜΕ ΑΛΛΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ
MASCHERONI ΜΟΝΟ ΜΕ ΔΙΑΒΗΤΗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
*1. Μια κλασική κατασκευή για τον διπλασιασμό του κύβου . . . . . . . . . . . . . 161
2. Περιορισμός στη χρήση μόνο διαβήτη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
3. Σχεδίαση με μηχανικά όργανα. Μηχανικές καμπύλες. Κυκλοειδείς . . . . 168
*4. Μηχανισμοί ράβδων. Αντιστροφείς των Peaucellier και Hart . . . . . . . . . . 170
§6. ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ 174
1. Αναλλοίωτο γωνιών. Οικογένειες κύκλων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
2. Εφαρμογή στο πρόβλημα του Απολλώνιου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
*3. Επανειλημμένοι κατοπτρισμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
IV ΠΡΟΒΟΛΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ.
ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
§1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
1. Ταξινόμηση γεωμετρικών ιδιοτήτων. Αναλλοίωτο
υπό μετασχηματισμούς . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
2. Προβολικοί μετασχηματισμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
§2. ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
1. Η ομάδα των προβολικών μετασχηματισμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
2. Θεώρημα του Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
§3. ΔΙΠΛΟΣ ΛΟΓΟΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
1. Ορισμός και απόδειξη του αναλλοίωτου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
2. Εφαρμογή στο πλήρες τετράπλευρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
§4. ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑ ΚΑΙ ΑΠΕΙΡΟ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
1. Σημεία στο άπειρο ως «ιδεατά σημεία» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
2. Ιδεατά στοιχεία και προβολή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
3. Διπλός λόγος με στοιχεία στο άπειρο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
§5. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
1. Προκαταρκτικά σχόλια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
xxx Περιεχόμενα
2. Απόδειξη του θεωρήματος του Desargues στο επίπεδο . . . . . . . . . . . . . . . 204
3. Θεώρημα του Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
4. Θεώρημα του Brianchon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5. Σχόλια περί δυϊκότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
§6. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
1. Εισαγωγικά σχόλια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
*2. Ομογενείς συντεταγμένες. Η αλγεβρική βάση της δυϊκότητας . . . . . . . . . 211
§7. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΟΝΟ ΜΕ ΚΑΝΟΝΑ . . . . . . . . . . . . . . 215
§8. ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ . . . . . . . . . 217
1. Στοιχειώδης μετρική γεωμετρία κωνικών τομών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
2. Προβολικές ιδιότητες των κωνικών τομών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
3. Κωνικές τομές ως ευθειακές καμπύλες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4. Γενικά θεωρήματα των Pascal και Brianchon για κωνικές τομές . . . . . . . 228
5. Το υπερβολοειδές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231
§9. ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ Η ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ . . . . . . . . . . . . . . 233
1. Η αξιωματική μέθοδος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
2. Υπερβολική μη ευκλείδεια γεωμετρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
3. Γεωμετρία και πραγματικότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4. Το μοντέλο του Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5. Ελλειπτική γεωμετρία ή γεωμετρία Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
V ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ *ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΣΕ ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ
ΑΠΟ ΤΡΕΙΣ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
1. Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
2. Αναλυτική προσέγγιση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
3. Γεωμετρική ή συνδυαστική προσέγγιση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
V ΤΟΠΟΛΟΓΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
§1. ΤΥΠΟΣ ΤΟΥ EULER ΓΙΑ ΠΟΛΥΕΔΡΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
§2. ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
1. Τοπολογικές ιδιότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
2. Συνεκτικότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
§3. ΑΛΛΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ . . . . . . . . . . 264
1. Το θεώρημα της καμπύλης Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
2. Το πρόβλημα των τεσσάρων χρωμάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
*3. Η έννοια της διάστασης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
*4. Ένα θεώρημα σταθερού σημείου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
5. Κόμβοι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
§4. Η ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΗ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
1. Το γένος μιας επιφάνειας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
*2. Η χαρακτηριστική Euler μιας επιφάνειας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
3. Επιφάνειες μίας όψης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
*1. Το θεώρημα των πέντε χρωμάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Περιεχόμενα xxxi
2. Το θεώρημα της καμπύλης Jordan για πολύγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
*3. Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
VI ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
§1. ΜΕΤΑΒΛΗΤΗ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
1. Ορισμοί και παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
2. Ακτινικό μέτρο γωνιών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
3. Το γράφημα μιας συνάρτησης. Αντίστροφες συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . 302
4. Σύνθεση συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
5. Συνέχεια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
*6. Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
*7. Συναρτήσεις και μετασχηματισμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
§2. ΟΡΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
1. Το όριο μιας ακολουθίας 𝑎𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
2. Μονότονες ακολουθίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
3. Ο αριθμός 𝑒 του Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
4. Ο αριθμός 𝜋 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
5. *Συνεχή κλάσματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
§3. ΟΡΙΑ ΜΕΣΩ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
1. Εισαγωγή. Γενικός ορισμός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
2. Σχόλια πάνω στην έννοια του ορίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
3. Το όριο του sin 𝑥
𝑥
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
4. Όρια καθώς 𝑥 → ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
§4. ΑΚΡΙΒΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
§5. ΔΥΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΕΡΙ ΣΥΝΕΧΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 338
1. Το θεώρημα του Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
*2. Απόδειξη του θεωρήματος του Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
3. Το θεώρημα ακροτάτων του Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
*4. Ένα θεώρημα περί ακολουθιών. Συμπαγή σύνολα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
§6. ΟΡΙΣΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ BOLZANO . . . 343
1. Γεωμετρικές εφαρμογές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
*2. Εφαρμογή σε ένα πρόβλημα μηχανικής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΑ
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΤΑ ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . . . . . . . . . . . . . . 349
§1. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΟΡΙΩΝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
1. Γενικά σχόλια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
2. Το όριο της 𝑞
𝑛 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
3. Το όριο της √𝑛 𝑝 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
4. Ασυνεχείς συναρτήσεις ως όρια συνεχών συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . 352
*5. Όρια μέσω επανάληψης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
§2. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΣΤΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
VII ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
xxxii Περιεχόμενα
§1. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
1. Μέγιστο εμβαδόν ενός τριγώνου με δύο δεδομένες πλευρές . . . . . . . . . . . 358
2. Θεώρημα του Ήρωνα. Ιδιότητα ακροτάτου των ακτίνων φωτός . . . . . . . 358
3. Εφαρμογές σε προβλήματα με τρίγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
4. Ιδιότητες εφαπτομένων έλλειψης και υπερβολής.
Αντίστοιχες ιδιότητες ακροτάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
*5. Ακραίες αποστάσεις από μια δεδομένη καμπύλη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
*§2. ΜΙΑ ΓΕΝΙΚΗ ΑΡΧΗ ΠΟΥ ΔΙΕΠΕΙ ΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
ΑΚΡΑΙΑΣ ΤΙΜΗΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
1. Η αρχή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
2. Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .369
§3. ΣΤΑΣΙΜΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΙ Ο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ . . . . . . . . . . . . . . . 370
1. Ακρότατα και στάσιμα σημεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
2. Μέγιστα και ελάχιστα συναρτήσεων πολλών μεταβλητών.
Σαγματικά σημεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
3. Ελαχιστομέγιστα σημεία και τοπολογία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
4. Η απόσταση ανάμεσα σε ένα σημείο και μια επιφάνεια . . . . . . . . . . . . . . . 375
§4. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΤΟΥ SCHWARZ . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
1. Η απόδειξη του Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376
2. Μια άλλη απόδειξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
3. Αμβλυγώνια τρίγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
4. Τρίγωνα που σχηματίζονται από ακτίνες φωτός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
*5. Σχόλια αναφορικά με προβλήματα κατοπτρισμού
και εργοδικής κίνησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382
§5. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ STEINER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
1. Πρόβλημα και λύση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
2. Ανάλυση των εναλλακτικών δυνατοτήτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .386
3. Ένα συμπληρωματικό πρόβλημα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
4. Σχόλια και ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
5. Γενίκευση στο πρόβλημα του οδικού δικτύου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
§6. ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
1. Ο αριθμητικός και ο γεωμετρικός μέσος δύο θετικών ποσοτήτων . . . . . . 392
2. Γενίκευση σε 𝑛 μεταβλητές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
3. Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
§7. Η ΥΠΑΡΞΗ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ. Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ DIRICHLET . . . . . . . . . . . . . . . 397
1. Γενικά σχόλια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
2. Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .399
3. Στοιχειώδη προβλήματα ακροτάτου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
4. Δυσκολίες στις ανώτερες περιπτώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
§8. ΤΟ ΙΣΟΠΕΡΙΜΕΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
*§9. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΟΥ ΜΕ ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ.
ΣΥΝΔΕΣΗ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ STEINER
ΚΑΙ ΤΟ ΙΣΟΠΕΡΙΜΕΤΡΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
Περιεχόμενα xxxiii
§10. Ο ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
1. Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
2. Ο λογισμός των μεταβολών. Η αρχή του Fermat στην οπτική . . . . . . . . . 413
3. Η πραγμάτευση του προβλήματος του βραχιστόχρονου
από τον Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
4. Γεωδαισιακές επάνω σε σφαίρα. Γεωδαισιακές και μεγιστο-ελάχιστα . . 417
§11. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΟΥ.
ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ ΜΕ ΥΜΕΝΙΑ ΣΑΠΟΥΝΑΔΑΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
1. Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
2. Πειράματα με υμένια σαπουνάδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
3. Νέα πειράματα πάνω στο πρόβλημα του Plateau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
4. Πειραματικές λύσεις άλλων μαθηματικών προβλημάτων . . . . . . . . . . . . . 424
VIII Ο ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
§1. ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
1. Το εμβαδόν ως όριο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
2. Το ολοκλήρωμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
3. Γενικά σχόλια για την έννοια του ολοκληρώματος. Γενικός ορισμός . . . 440
4. Παραδείγματα ολοκλήρωσης. Ολοκλήρωση του 𝑥
𝑟
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
5. Κανόνες για τον «ολοκληρωτικό λογισμό» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
§2. Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
1. Η παράγωγος ως κλίση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
2. Η παράγωγος ως όριο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
3. Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .455
4. Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
*5. Παραγώγιση και συνέχεια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
6. Παράγωγος και ταχύτητα. Δεύτερη παράγωγος και επιτάχυνση . . . . . . . . 460
7. Γεωμετρικό νόημα της δεύτερης παραγώγου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
8. Μέγιστα και ελάχιστα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
§3. Η ΤΕΧΝΙΚΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
§4. Ο ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ LEIBNIZ ΚΑΙ ΤΟ «ΑΠΕΙΡΟΣΤΑ ΜΙΚΡΟ» . . 471
§5. ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ . . . 474
1. Το θεμελιώδες θεώρημα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
2. Πρώτες εφαρμογές. Ολοκλήρωση των 𝑥
𝑟
, cos 𝑥, sin 𝑥. Η arctan 𝑥 . . . . . 477
3. Ο τύπος του Leibniz για το 𝜋 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
§6. Η ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ Ο ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
1. Ορισμός και ιδιότητες του λογαρίθμου. Ο αριθμός 𝑒 του Euler . . . . . . . . 481
2. Η εκθετική συνάρτηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
3. Τύποι για παραγώγιση των 𝑒, 𝑎
𝑥
, 𝑥
𝑠
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
4. Συγκεκριμένες εκφράσεις για το 𝑒, το 𝑒
𝑥 και το log 𝑥 ως όρια . . . . . . . . . 487
5. Άπειρη σειρά για τον λογάριθμο. Αριθμητικός υπολογισμός . . . . . . . . . . 490
§7. ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
1. Ορισμός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
xxxiv Περιεχόμενα
2. Η διαφορική εξίσωση της εκθετικής συνάρτησης.
Ραδιενεργός διάσπαση. Νόμος αύξησης. Ανατοκισμός . . . . . . . . . . . . . . . 494
3. Άλλα παραδείγματα. Στοιχειώδεις ταλαντώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497
4. Ο νόμος της δυναμικής του Νεύτωνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ VIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
§1. ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΑΡΧΗΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
1. Παραγωγισιμότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
2. Το ολοκλήρωμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
3. Άλλες εφαρμογές της έννοιας του ολοκληρώματος Έργο. Μήκος . . . . . . 506
§2. ΤΑΞΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .509
1. Η εκθετική συνάρτηση και δυνάμεις του 𝑥 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509
2. Τάξη μεγέθους του log(𝑛!) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
§3. ΑΠΕΙΡΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΑΠΕΙΡΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
1. Άπειρες σειρές συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
2. Ο τύπος του Euler, cos 𝑥 + 𝑖sin 𝑥 = 𝑒𝑖𝑥 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
3. Η αρμονική σειρά και η συνάρτηση ζήτα. Το γινόμενο του Euler
για το ημίτονο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
**§4. ΣΥΝΑΓΩΓΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
IX ΠΡΟΣΦΑΤΕΣ ΕΞΕΛΙΞΕΙΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
§1. ΕΝΑΣ ΤΥΠΟΣ ΓΙΑ ΠΡΩΤΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
§2. Η ΕΙΚΑΣΙΑ ΤΟΥ GOLDBACH ΚΑΙ ΟΙ ΔΙΔΥΜΟΙ ΠΡΩΤΟΙ . . . . . . . . . . . 530
§3. ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ FERMAT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
§4. Η ΥΠΟΘΕΣΗ ΤΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
§5. ΣΥΝΟΛΟΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
§6. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΤΕΣΣΑΡΩΝ ΧΡΩΜΑΤΩΝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
§7. ΔΙΑΣΤΑΣΗ HAUSDORFF ΚΑΙ FRACTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542
§8. ΚΟΜΒΟΙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
§9. ΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549
§10. ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ STEINER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
§11. ΥΜΕΝΙΑΣ ΑΠΟΥΝΑΔΑΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΙΚΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ . . . . . . . 558
§12. ΜΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΑ ΣΧΟΛΙΑ, ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ . . . . . . 569
Αριθμητική και άλγεβρα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
Αναλυτική γεωμετρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
Γεωμετρικές κατασκευές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
Προβολική και μη ευκλείδεια γεωμετρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
Τοπολογία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
Συναρτήσεις, όρια και συνέχεια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
Μέγιστα και ελάχιστα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
Ο απειροστικός λογισμός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
Περιεχόμενα xxxv
Τεχνική ολοκλήρωσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
Υποδείξεις για περαιτέρω ανάγνωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
Υποδείξεις για επιπλέον ανάγνωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599
Ευρετήριο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605