ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Πρόλογος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1. Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1 Εισαγωγικές έννοιες και ορισμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Παραδείγματα ΣΔΕ και επίλυσής τους . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Γραμμικές/μη γραμμικές ΣΔΕ – Υπέρθεση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2. Βαθμωτές ΣΔΕ Πρώτης Τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1 ΣΔΕ χωριζομένων μεταβλητών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 ΣΔΕ αναγόμενες σε χωριζομένων μεταβλητών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.1 Ομογενείς ΣΔΕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.2 ΣΔΕ με διμεταβλητή ρητογραμμική συνάρτηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Γραμμικές ΣΔΕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.1 Το ομογενές πρόβλημα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.2 Το πλήρες μη ομογενές πρόβλημα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.3 Εφαρμογές γραμμικών ΣΔΕ 1ης τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4 Εξισώσεις Bernoulli και Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.1 Εξίσωση του Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.4.2 Εξίσωση του Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5 Ακριβείς διαφορικές εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.5.1 Ορισμοί και παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.5.2 ΣΔΕ αναγόμενες σε ακριβείς . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.6 Χαμιλτονιανά συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.6.1 Ελλειπτικές συναρτήσεις Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.7 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3. Καλή Τοποθέτηση του Προβλήματος Αρχικών Τιμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.1 Το βαθμωτό ΠΑΤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.1.1 ΄Υπαρξη και μοναδικότητα λύσης του ΠΑΤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.2 Το διανυσματικό ΠΑΤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2.1 ΄Υπαρξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.2.2 Επεκτασιμότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2.3 Μοναδικότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.2.4 Ολική ΄Υπαρξη – Η Μέθοδος της Σύγκρισης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.2.5 Εξάρτηση από τα αρχικά δεδομένα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.3 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
4. Ποιοτική Θεωρία για Βαθμωτές ΣΔΕ Πρώτης Τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.1 Ροές, σημεία ισορροπίας, ευστάθεια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.1.1 Ροή στη γραμμή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
4.1.2 Γραμμική ανάλυση ευστάθειας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.1.3 Σημεία ισορροπίας, διαγράμματα φάσης, λύσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.2 Διακλαδώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.2.1 Εισαγωγικές έννοιες και ορισμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.2.2 Διακλάδωση σάγματος-κόμβου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.2.3 Δια-κρίσιμη διακλάδωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.2.4 Δικρανική διακλάδωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.2.5 Θεωρία διακλαδώσεων και αλλαγές φάσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
4.3 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
5. Γραμμικές ΣΔΕ Δεύτερης Τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.1 Ομογενείς ΣΔΕ με σταθερούς συντελεστές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.1.1 Προσδιορισμός της γενικής λύσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5.1.2 Mορφή της γενικής λύσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
5.2 Ομογενείς ΣΔΕ με μη σταθερούς συντελεστές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.2.1 Γραμμική ανεξαρτησία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.2.2 Υποβιβασμός τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
5.2.3 Γενική λύση – θεμελιώδες σύνολο λύσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.2.4 H εξίσωση Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.3 Μη ομογενείς ΣΔΕ 2ης τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.3.1 Η μέθοδος των προσδιοριστέων συντελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
5.3.2 Η μέθοδος Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
5.3.3 Η μέθοδος υποβιβασμού της τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.4 Tαλαντώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.4.1 Μηχανικές ταλαντώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.4.2 Ηλεκτρικές ταλαντώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.5 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
6. Η Μέθοδος των Δυναμοσειρών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
6.1 Δυναμοσειρές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
6.2 Ομαλά και ιδιόμορφα σημεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
6.3 Λύσεις ΣΔΕ με δυναμοσειρές γύρω από ομαλά σημεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.4 ΣΔΕ με ιδιόμορφα σημεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
6.5 Η μέθοδος Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
6.6 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
7. Διαφορικές Εξισώσεις Painlevé και Ολοκληρωσιμότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
7.1 Μιγαδικές αναλυτικές συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
7.1.1 Ιδιομορφίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
7.1.2 Πλειότιμες μιγαδικές συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
7.1.3 Αναλυτική συνέχιση – Μονοδρομία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 11
7.2 ΣΔΕ, λύσεις και ιδιομορφίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
7.3 Ιδιότητα Painlevé και εξισώσεις Painlevé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
7.3.1 To Τεστ Painlevé για ΣΔΕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
7.3.2 Οι εξισώσεις Painlevé με πραγματική μεταβλητή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
7.4 Ολοκληρώσιμα Συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
7.4.1 Ολοκληρωσιμότητα ΣΔΕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
7.4.2 Ολοκληρωσιμότητα ΜΔΕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
8. Προβλήματα Συνοριακών Τιμών και Θεωρία Sturm–Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
8.1 Η Αρχή του Μεγίστου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
8.2 Θεωρία Sturm: θεωρήματα διαχωρισμού και σύγκρισης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
8.3 Προβλήματα Συνοριακών Τιμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
8.3.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
8.3.2 Ορισμένες έννοιες από την Ανάλυση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
8.3.3 Προβλήματα συνοριακών τιμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
8.3.4 Το συζυγές πρόβλημα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
8.3.5 Η συνάρτηση Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
8.3.6 Εναλλαγή Fredholm και συνθήκες επιλυσιμότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
8.4 Κανονικά προβλήματα Sturm–Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
8.4.1 Χωριζόμενες συνοριακές συνθήκες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
8.4.2 Περιοδικές συνοριακές συνθήκες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
8.5 Ιδιόμορφα προβλήματα Sturm–Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
8.6 Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
8.7 Χωρισμός μεταβλητών για ΜΔΕ – Η μέθοδος Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
8.8 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
9. Συστήματα Γραμμικών ΣΔΕ Πρώτης Τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
9.1 Μερικά στοιχεία της Θεωρίας Πινάκων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
9.1.1 Διάφορες έννοιες και ορισμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
9.1.2 Κριτήρια Routh–Hurwitz και Liénard–Chipart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
9.1.3 Νόρμες διανυσμάτων και πινάκων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
9.1.4 Συνεχείς, διαφορίσιμοι και ολοκληρώσιμοι πίνακες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
9.1.5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα – Πίνακες απλής δομής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
9.1.6 Συναρτήσεις πινάκων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
9.1.7 Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα – Πίνακες μη απλής δομής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
9.1.8 Κανονική μορφή Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
9.1.9 Η κανονική μορφή Jordan για 2×2 πίνακες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
9.1.10 Η συνάρτηση εκθετικός πίνακας eAt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
9.1.11 Ιδιότητες του eAt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
9.1.12 Υπολογισμός του eAt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
9.2 Το Πρόβλημα Αρχικών Τιμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
9.3 Ομογενή συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
9.3.1 Υποβιβασμός τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
9.4 Μη ομογενή συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

9.5 Ομογενή συστήματα με σταθερούς συντελεστές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
9.5.1 Ο Αλγόριθμος Putzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
9.5.2 Η μέθοδος της ιδιοανάλυσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
9.5.3 Η μέθοδος της απαλοιφής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
9.6 Μη ομογενή συστήματα με σταθερούς συντελεστές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
9.6.1 Ο αλγόριθμος Putzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
9.6.2 Η μέθοδος της ιδιοανάλυσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
9.6.3 Η μέθοδος της απαλοιφής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
9.7 Μερικές εφαρμογές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
9.8 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
10. Γραμμικές ΣΔΕ Ανώτερης Τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
10.1 Ομογενείς ΣΔΕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
10.2 Μη ομογενείς ΣΔΕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
10.3 Τυπικές εφαρμογές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
10.4 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
11. Μετασχηματισμός Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
11.1 Ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
11.2 Ο μετασχηματισμός Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
11.2.1 Ορισμός και ύπαρξη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
11.2.2 Κατανομές (γενικευμένες συναρτήσεις) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
11.2.3 Ιδιόμορφες κατανομές – Το δέλτα του Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
11.3 Βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
11.4 Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
11.4.1 Μετασχηματισμός Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
11.4.2 Ανάλυση ρητών συναρτήσεων σε απλά κλάσματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
11.5 Επίλυση ΣΔΕ με χρήση του μετασχηματισμού Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
11.5.1 Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
11.6 Τυπολόγιο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489
11.7 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
12. Ποιοτική Θεωρία για Συστήματα ΣΔΕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
12.1 Ευστάθεια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
12.1.1 Ευστάθεια μη γραμμικών συστημάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
12.1.2 Ευστάθεια γραμμικών συστημάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
12.2 Γραμμικοποίηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
12.2.1 Απλά κανονικά συστήματα διδιάστατων ομογενών ΣΔΕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
12.2.2 Μη απλά συστήματα διδιάστατων ομογενών ΣΔΕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
12.2.3 Το Θεώρημα Γραμμικοποίησης για διδιάστατα συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 510
12.3 Κανονικά Σημεία – Το Θεώρημα του Κιβωτίου Ροής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522
12.4 Η Άμεση Μέθοδος του Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
12.5 Αναλλοίωτα Σύνολα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
12.6 Οριακοί Κύκλοι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
12 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

12.7 Θεωρία Poincaré–Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
12.8 Πρώτα Ολοκληρώματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
12.9 Κατηγορίες Σημαντικών Συστημάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
12.9.1 Διατηρητικά Συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
12.9.2 Αποσβεστικά Συστήματα – Ολικοί Ελκυστές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
12.9.3 Συστήματα Κλίσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
12.10 Μονοπαραμετρικές διακλαδώσεις στο επίπεδο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574
12.11 Επιδημιολογικά μοντέλα λοιμωδών νοσημάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
12.12 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
13. Διαστατική Ανάλυση, Κανονικοποίηση, Διαταραχές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
13.1 Εισαγωγή στη Διαστατική Ανάλυση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595
13.2 Το Θεώρημα Π του Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
13.3 Εισαγωγή στην Κανονικοποίηση…………………………………………. 603
13.4 Εισαγωγή στις Μεθόδους Διαταραχών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
13.4.1 Μερικές έννοιες της Ασυμπτωτικής Ανάλυσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606
13.4.2 Κανονικές διαταραχές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
13.4.3 Η μέθοδος Poincaré–Lindstedt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
13.4.4 Ιδιόμορφες διαταραχές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
13.4.5 Η Μέθοδος WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
13.4.6 Eφαρμογές στην Κβαντομηχανική . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
13.5 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647
14. Συνοπτικά Ιστορικά Στοιχεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
14.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651
14.2 Από τα μέσα του 17ου στα μέσα του 18ου αιώνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653
14.3 Μετά τα μέσα του 18ου αιώνα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
14.3.1 Ύπαρξη λύσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655
14.3.2 Ποιοτική Θεωρία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656
14.3.3 Αριθμητικές Μέθοδοι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
14.3.4 Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
14.4 Minimal βιογραφικά στοιχεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657
Βιβλιογραφία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669
Ευρετήριο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677