ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Οδηγίες χρήσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
I Παράγωγοι 1
I.1. Πρώτη παράγωγος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Παράγωγος διανυσματικής συνάρτησης . . . . . . . . . . . . 1
2. Γραμμικότητα της παραγώγισης . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3. Παράγωγος γινομένου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
4. Παράγωγος του αντιστρόφου μιας συνάρτησης . . . . . . . . 7
5. Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . 7
6. Παράγωγος αντίστροφης συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . 8
7. Παράγωγοι πραγματικών συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . 9
I.2. Το θεώρημα μέσης τιμής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1. Θεώρημα του Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2. Το θεώρημα μέσης τιμής για τις πραγματικές συναρτήσεις . . 11
3. Το θεώρημα μέσης τιμής για τις διανυσματικές συναρτήσεις . 14
4. Συνέχεια των παραγώγων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.3. Παράγωγοι υψηλότερης τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1. Παράγωγοι τάξης n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Τύπος του Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
I.4. Κυρτές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής . . . . . . . . . . 22
1. Ορισμός των κυρτών συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. Οικογένειες κυρτών συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . 25
3. Συνέχεια και παραγωγισιμότητα των κυρτών συναρτήσεων . . 26
4. Κριτήρια κυρτότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Ασκήσεις I.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Ασκήσεις I.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Ασκήσεις I.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Ασκήσεις I.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
II Παράγουσες και ολοκληρώματα 47
II.1. Παράγουσες και ολοκληρώματα . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
i
ii Περιεχόμενα
1. Ορισμός των παραγουσών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2. Ύπαρξη παραγουσών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3. Εύτακτες συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4. Ολοκληρώματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5. Ιδιότητες των ολοκληρωμάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6. Υπόλοιπο του Taylor, παράγουσες υψηλότερης τάξης . . . . . 58
II.2. Ολοκληρώματα σε μη συμπαγή διαστήματα . . . . . . . . . . . 59
1. Ορισμός του ολοκληρώματος σε μη συμπαγές διάστημα . . . . 59
2. Θετικές συναρτήσεις σε μη συμπαγές διάστημα . . . . . . . . 63
3. Απολύτως συγκλίνοντα ολοκληρώματα . . . . . . . . . . . . . 64
II.3. Συναρτήσεις εξαρτώμενες από μια παράμετρο . . . . . . . . . . 65
1. Ολοκλήρωμα ορίου συναρτήσεων σε συμπαγές διάστημα . . . 65
2. Ολοκλήρωμα ορίου συναρτήσεων σε μη συμπαγές διάστημα . 66
3. Κατά στάθμη συγκλίνοντα ολοκληρώματα . . . . . . . . . . . 69
4. Παράγωγος ως προς παράμετρο σε συμπαγές διάστημα . . . . 70
5. Παράγωγος ως προς παράμετρο σε μη συμπαγές διάστημα . . 73
6. Αντιστροφή της σειράς των ολοκληρώσεων . . . . . . . . . . 74
Ασκήσεις II.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Ασκήσεις II.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Ασκήσεις II.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
III Στοιχειώδεις συναρτήσεις 89
III.1. Παράγωγοι εκθετικών και τριγωνομετρικών συναρτήσεων . . . 89
1. Παράγωγοι εκθετικών συναρτήσεων, ο αριθμός e . . . . . . . 89
2. Παράγωγος του logax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3. Παράγωγοι τριγωνομετρικών συναρτήσεων, ο αριθμός π . . . 92
4. Αντίστροφες τριγωνομετρικές συναρτήσεις . . . . . . . . . . . 93
5. Μιγαδική εκθετική συνάρτηση . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6. Ιδιότητες της συνάρτησης ez . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7. Μιγαδικός λογάριθμος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8. Παράγουσες ρητών συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9. Μιγαδικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Υπερβολικές συναρ τήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
III.2. Αναπτύγματα στοιχειωδών συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . 102
1. Ανάπτυγμα της πραγματικής εκθετικής . . . . . . . . . . . . . 102
2. Αναπτύγματα της μιγαδικής εκθετικής και των cos x, sin x . . 103
3. Το διωνυμικό ανάπτυγμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4. Αναπτύγματα των log(1 + x), arctan x και arcsin x . . . . . . 108
Ασκήσεις III.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Ασκήσεις III.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Περιεχόμενα iii
Ιστορικό Σημείωμα (κεφ. I – III) 125
Βιβλιογραφία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
IV Διαφορικές εξισώσεις 161
IV.1. Θεωρήματα ύπαρξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
1. Η έννοια διαφορικής εξίσωσης . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
2. Διαφορικές εξισώσεις δεχόμενες ως λύσεις παράγουσες ευτά κτων συναρτήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3. Ύπαρξη προσεγγιστικών λύσεων . . . . . . . . . . . . . . . . 165
4. Σύγκριση των προσεγγιστικών λύσεων . . . . . . . . . . . . . 167
5. Λιπσιτζιανές και τοπικώς λιπσιτζιανές εξισώσεις . . . . . . . . 170
6. Συνέχεια ολοκληρωμάτων σε συνάρτηση με παράμετρο . . . . 173
7. Εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες . . . . . . . . . . . . . . 175
IV.2. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
1. Ύπαρξη των ολοκληρωμάτων γραμμικής διαφορικής εξίσωσης 177
2. Γραμμικότητα των ολοκληρωμάτων . . . . . . . . . . . . . . 179
3. Ολοκλήρωση της μη ομογενούς γραμμικής εξίσωσης . . . . . 181
4. Θεμελιώδη συστήματα ολοκληρωμάτων γραμμικού συστήμα τος βαθμωτών διαφορικών εξισώσεων . . . . . . . . . . . . . 183
5. Συζυγής εξίσωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6. Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές . . 188
7. Γραμμικές εξισώσεις τάξης n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
8. Γραμμικές εξισώσεις τάξης n με σταθερούς συντελεστές . . . 194
9. Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές . 197
Ασκήσεις IV.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Ασκήσεις IV.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Ιστορικό Σημείωμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Βιβλιογραφία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
V Τοπική μελέτη των συναρτήσεων 209
V.1. Σύγκριση συναρτήσεων σε σύνολο με φίλτρο . . . . . . . . . . 209
1. Σχέσεις σύγκρισης: I. Ασθενείς σχέσεις . . . . . . . . . . . . 209
2. Σχέσεις σύγκρισης: ΙΙ. Ισχυρές σχέσεις . . . . . . . . . . . . . 213
3. Αλλαγή μεταβλητών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4. Σχέσεις σύγκρισης μεταξύ αυστηρώς θετικών συναρτήσεων . . 215
5. Συμβολισμός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
V.2. Ασυμπτωτικά αναπτύγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
1. Κλίμακες σύγκρισης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
2. Κύρια μέρη και ασυμπτωτικά αναπτύγματα . . . . . . . . . . 220
3. Αθροίσματα και γινόμενα ασυμπτωτικών αναπτυγμάτων . . . 222
4. Σύνθεση ασυμπτωτικών αναπτυγμάτων . . . . . . . . . . . . . 223
5. Ασυμπτωτικά αναπτύγματα με μεταβλητούς συντελεστές . . . 225
iv Περιεχόμενα
V.3. Αναπτύγματα συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής . . . 226
1. Ολοκλήρωση των σχέσεων σύγκρισης: I. Ασθενείς σχέσεις . . 226
2. Εφαρμογή: λογαριθμικά κριτήρια σύγκλισης ολοκληρωμάτων 227
3. Ολοκλήρωση των σχέσεων σύγκρισης: ΙΙ. Ισχυρές Σχέσεις . . 229
4. Παραγώγιση των σχέσεων σύγκρισης . . . . . . . . . . . . . . 231
5. Κύριο μέρος παράγουσας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6. Ασυμπτωτικό ανάπτυγμα παράγουσας . . . . . . . . . . . . . 234
V.4. Εφαρμογή στις σειρές θετικών όρων . . . . . . . . . . . . . . . 236
1. Κριτήρια σύγκλισης των σειρών θετικών όρων . . . . . . . . . 236
2. Ασυμπτωτικό ανάπτυγμα των μερικών αθροισμάτων σειράς . . 238
3. Ασυμπτωτικό ανάπτυγμα των μερικών γινομένων απείρου γινο μένου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4. Κριτήρια σύγκλισης δευτέρου είδους για σειρές θετικών όρων 244
Παράρτημα. Σώματα του Hardy, συναρτήσεις (H) . . . . . . . . . . . 246
1. Σώματα του Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
2. Επέκταση σώματος του Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
3. Σύγκριση συναρτήσεων σώματος του Hardy . . . . . . . . . . 249
4. Συναρτήσεις (H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5. Επαναλαμβανόμενες εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις 252
6. Αντίστροφη συνάρτησης (H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Ασκήσεις V.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
Ασκήσεις V.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Ασκήσεις V.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Ασκήσεις V.H. Παράρτημα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
VI Αναπτύγματα του Taylor, τύπος των Euler-MacLaurin 269
VI.1. Γενικευμένα αναπτύγματα του Taylor . . . . . . . . . . . . . . 269
1. Τελεστές σύνθεσης σε άλγεβρα πολυωνύμων . . . . . . . . . . 269
2. Πολυώνυμα του Appell συνδεδεμένα με τελεστή σύνθεσης . . 273
3. Γεννήτρια σειρά των πολυωνύμων του Appell . . . . . . . . . 274
4. Πολυώνυμα του Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5. Τελεστές σύνθεσης στις συναρτήσεις μιας πραγματικής μετα βλητής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6. Ενδείκτρια τελεστή σύνθεσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
7. Αθροιστικός τύπος των Euler-MacLaurin . . . . . . . . . . . . 282
VI.2. Τριγωνομετρικές συναρτήσεις και αριθμοί του Bernoulli . . . . 283
1. Ανάπτυγμα του Euler της cot z . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
2. Ανάπτυγμα του Euler της sin z . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
3. Εφαρμογή στους αριθμούς του Bernoulli . . . . . . . . . . . . 286
VI.3. Άνω φράγμα του υπολοίπου του τύπου των Euler-MacLaurin . . 288
1. Άνω φράγμα του υπολοίπου του τύπου των Euler-MacLaurin . 288
2. Εφαρμογή στα ασυμπτωτικά αναπτύγματα . . . . . . . . . . . 288
Περιεχόμενα v
Ασκήσεις VI.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
Ασκήσεις VI.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Ασκήσεις VI.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
Ιστορικό Σημείωμα (κεφ. V – VI) 297
Βιβλιογραφία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
VII Η συνάρτηση Γάμμα 301
VII.1. Η συνάρτηση Γάμμα στους πραγματικούς . . . . . . . . . . . . 301
1. Ορισμός της συνάρτησης Γάμμα . . . . . . . . . . . . . . . . 301
2. Ιδιότητες της συνάρτησης Γάμμα . . . . . . . . . . . . . . . . 303
3. Ολοκληρώματα του Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
VII.2. Η συνάρτηση Γάμμα στους μιγαδικούς . . . . . . . . . . . . . . 311
1. Επέκταση της συνάρτησης Γάμμα στο C . . . . . . . . . . . . 311
2. Σχέση συμπληρωμάτων και τύπος των Legendre-Gauss . . . . 312
3. Ανάπτυγμα του Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
Ασκήσεις VII.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
Ασκήσεις VII.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Ιστορικό Σημείωμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Βιβλιογραφία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
Κατάλογος συμβόλων 325
Ευρετήριο 327