ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

Εισαγωγή 1
1 Παραµετρικές επιφάνειες & οµαλές επιφάνειες 3
1.1 Παραµετρικές επιφάνειες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Οµαλές (κανονικές) παραµετρικές επιφάνειες . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Παραδείγµατα (οµαλών) παραµετρικών επιφανειών . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Επιφάνειες τύπου Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Επιφάνειες εκ περιστροφής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.3 Ευθειογενείς επιφάνειες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4 Οµαλές (κανονικές) επιφάνειες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Αναπαραµετρήσεις επιφανειών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 Καµπύλες επιφάνειας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7 Εφαπτόµενος χώρος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.8 Λυµένες ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.9 Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2 Η πρώτη ϑεµελιώδης µορφή 65
2.1 Ορισµός πρώτης ϑεµελιώδους µορφής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2 Εσωγενείς ποσότητες και υπολογισµοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2.1 Μήκος καµπύλης επιφάνειας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2.2 Γωνία εφαπτόµενων διανυσµάτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2.3 Εµβαδό επιφάνειας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2.4 Υπολογιστικό παράδειγµα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.3 Λυµένες ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.4 Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3 ∆ιαφορικός λογισµός σε οµαλές επιφάνειες 105
3.1 ∆ιαφορίσιµες απεικονίσεις µεταξύ επιφανειών . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2 ∆ιαφορικό διαφορίσιµης απεικόνισης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.3 Τοπικές ισοµετρίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.4 Σύµµορφες απεικονίσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.5 Ισεµβαδικές απεικονίσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.6 Λυµένες ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.7 Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
4 Η δεύτερη ϑεµελιώδης µορφή 151
4.1 Απεικόνιση Gauss και τελεστής σχήµατος . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.2 Η δεύτερη ϑεµελιώδης µορφή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.3 Καµπυλότητα Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.4 Γεωµετρική ερµηνεία & τοπική µορφή επιφάνειας . . . . . . . . . . . . 174
4.5 Οµφαλικά σηµεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
4.6 Γραµµές καµπυλότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
4.7 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
4.8 Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5 Το Θαυµαστό Θεώρηµα του Gauss 235
5.1 Τα σύµβολα Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.2 Εξισώσεις Codazzi – Mainardi και Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.3 Το Θαυµαστό Θεώρηµα του Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
5.4 Λυµένες ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
5.5 Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
6 Κάθετη και γεωδαισιακή καµπυλότητα 265
6.1 Κάθετη καµπυλότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
6.2 Ασυµπτωτικές γραµµές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.3 Γεωδαισιακή καµπυλότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
6.4 Γεωδαισιακές καµπύλες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.5 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6.6 Ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
7 Γενικές ασκήσεις στις επιφάνειες 331
8 Απαντήσεις στις ερωτήσεις τύπου σωστό – λάθος 345

Βιβλιογραφία 353
Εργογραφία 35