ΟΜΑΔΕΣ ΚΑΙ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ

Το παρόν σύγγραμμα είναι ειδικά σχεδιασμένο για να μας εισαγάγει στη Θεωρία Ομάδων στηριζόμενο σε αυτόν τον τρόπο πρόσβασης, ήτοι μέσω του τονισμού της εννοίας της «Συμμετρίας», γεγονός που του προσδίδει ιδιάζουσα παιδαγωγική αξία. Όντας γραμμένο σε μη φορμαλιστικό (τυποκρατικό) ύφος και διανθισμένο με ενδιαφέρουσες ασκήσεις διαφόρων βαθμών δυσκολίας (που ξεπερνούν τις 300), καθώς και με πολλά σχήματα (που διευκολύνουν την ανάπτυξη των ενορατικών ικανοτήτων του αναγνώστη), στοχεύει στην ανάδειξη της ομορφιάς και της γοητείας αυτού του τμήματος των Μαθηματικών, το οποίο προκύπτει ως αποτέλεσμα σύζευξης δύο φαινομενικώς ετερόκλητων τεχνικών (μιας αλγεβρικής, εν πολλοίς αφηρημένης, και μιας γεωμετρικής, κατ' ουσίαν «απτής»). Απ' αρχής μέχρι τέλους δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στην πραγμάτευση πληθώρας συγκεκριμένων παραδειγμάτων, συχνά αποκλειστικώς γεωμετρικής φύσεως, όπως π.χ. συμβαίνει με τις πεπερασμένες ομάδες περιστροφών και τις 17 ομάδες διακοσμητικών επιστρωμάτων τοίχου, οι οποίες εξετάζονται λεπτομερώς, παραπλεύρως της παρουσίασης κλασικών θεωρητικών αποτελεσμάτων, όπως είναι το θεώρημα του Cayley, το θεώρημα του Lagrange, το θεώρημα του Cauchy, τα θεωρήματα του Sylow, το θεώρημα καταμέτρησης των τροχιών (ως προς μια δράση μιας πεπερασμένης ομάδας επί ενός πεπερασμένου συνόλου), η ταξινόμηση των πεπερασμένων ομάδων μικρής τάξης, η ταξινόμηση των πεπερασμένως παραγομένων αβελιανών ομάδων και οι βασικές ιδιότητες των ελευθέρων ομάδων. Μια καινοφανή ιδιαιτερότητα αποτελεί η παράθεσή της -κατά J. P. Serre- απόδειξης του θεωρήματος των Nielsen και Schreier, η οποία κάνει χρήση δράσεων ομάδων επί δέντρων. Το βιβλίο απευθύνεται κυρίως σε προπτυχιακούς φοιτητές Μαθηματικών Τμημάτων, αλλά μπορεί να διαβασθεί χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία και από φοιτητές Φυσικής, Χημείας και Μοριακής Βιολογίας, καθότι περιλαμβάνει διεξοδική μελέτη ομάδων συμμετριών ποικίλων στερεών, διαφόρων ομάδων πινάκων και ομάδων ισομετριών του επιπέδου, οι οποίες είναι απαραίτητες για την περαιτέρω εξέταση μαθηματικών προτύπων εντός των πλαισίων της Κβαντομηχανικής, της Μοριακής Φυσικής, της Φυσικής Στοιχειωδών Σωματιδίων, της Κρυσταλλογραφίας κ.α. Επιπροσθέτως, λόγω της προαναφερθείσας παιδαγωγικής του αξίας και των ολίγων προαπαιτούμενων γνώσεων (που περιορίζονται σε ό,τι μαθαίνει κανείς στις τελευταίες τάξεις του σχολείου και στις αρχικές πανεπιστημιακές παραδόσεις Γραμμικής Άλγεβρας και Αναλυτικής Γεωμετρίας), ενδείκνυται τόσο ως διδακτικό εγχειρίδιο όσο και ως βοήθημα για κατ' ιδίαν μελέτη.