Γενική Σχετικότητα και Κοσμολογία

Πρόλογος vii
Πρόλογος vii
1 Μετρική Riemann και Γεωδαισιακές Καμπύλες: Θεμέλια
της Γενικής Σχετικότητας 1
1.1 Το σύστημα συντεταγμένων κατά Gauss …………. 1
1.2 Η έννοια της μετρικής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Η μετρική Riemann …………………… 6
1.5 Αλλαγή συστήματος συντεταγμένων με την μετρική Riemann . 7
1.6 Μήκος καμπύλης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 Γεωδαισιακές καμπύλες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Η καμπυλότητα Gauss ως απόκλιση από την Ευκλείδια
Γεωμετρία 31
2.1 Η καμπυλότητα Gauss: Εισαγωγή και τοπική μορφή . . . . . . . 31
2.2 Παραδείγματα που αναδεικνύουν την καμπυλότητα Gauss ως
μέτρο της απόκλισης από την Ευκλείδεια Γεωμετρία . . . . . . . 34
2.3 Η περίπτωση της επιφάνειας του κυλίνδρου . . . . . . . . . . . . 37
2.4 Χώροι δύο και τριών διαστάσεων με σταθερή καμπυλότητα . . . 39
2.4.1 Επιφάνειες δύο διαστάσεων με σταθερή καμπυλότητα . . 39
2.4.2 Χώροι τριών διαστάσεων με σταθερή καμπυλότητα . . . . 39
2.4.3 Από σταθερό σε χρονικά μεταβαλλόμενο παράγοντα R2(t) 42
3 Βαρύτητα και Γεωμετρία 43
3.1 Συνεισφορά της βαρυτικής ενέργειας στην ολική ενέργεια σώματος 43
3.2 Η Ισχυρή Αρχή της Ισοδυναμίας (Ι.Α.Ι.) . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.1 Παρατηρητής που πέφτει ελεύθερα . . . . . . . . . . . . 45
3.2.2 Παρατηρητής εντός πεδίου βαρύτητας . . . . . . . . . . . 48
i
v

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
3.3 Εκφράσεις του συμβόλου Christoffel Γµ
λν και η ταύτιση ΒαρύτηταςΓεωμετρίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Το Υπερβολικό Επίπεδο 59
4.1 Μερικές χαρακτηριστικές του ιδιότητες . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Σχόλια για το υπερβολικό επίπεδο . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5 Το Νευτώνιο ΄Οριο: Από τις εξισώσεις του Einstein στις
εξισώσεις του Νεύτωνα 67
6 Από τη Νευτώνεια Βαρύτητα στη Γενική Σχετικότητα 73
6.1 Η γεωμετρική φύση της βαρύτητας . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6.2 Από την κατανομή της ύλης στη γεωμετρία του χωροχρόνου . . 75
6.3 Προσδιορισμός της κίνησης σε βαρυτικό πεδίο . . . . . . . . . . 76
7 Παράδειγμα πολυδιάστατου χώρου με «κρυμμένες» διαστάσεις 79
8 Ο χωροχρόνος εντός ενός πεδίου βαρύτητας 83
8.1 Χρονικές αποστάσεις σε πεδίο βαρύτητας . . . . . . . . . . . . . 83
8.2 Χωρικές αποστάσεις σε πεδίο βαρύτητας . . . . . . . . . . . . . 89
8.3 Μέτρηση χρονικών και χωρικών αποστάσεων μέσω της γενικευμένης μετρικής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.4 Μήκος καμπύλης τη χρονική στιγμή x0: Εφαρμογές . . . . . . . 93
8.5 Απόσταση δύο σημείων στο Σύμπαν . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.6 Ερμηνεία της εξίσωσης ds = 0 για το φως . . . . . . . . . . . . 99
9 Η μετρική Schwarzschild: Ακτινική πτώση, ιδιόχρονος και
εφαρμογές σε βαρυτικά πεδία 101
9.1 Ακτινική κίνηση σωμάτων σε μελανή οπή . . . . . . . . . . . . . 101
9.2 Χρόνος που μετρά ο μακρινός παρατηρητής για πτώση σε μελανή
οπή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.3 Ιδιόχρονος του παρατηρητή που πέφτει σε μελανή οπή . . . . . . 105
9.4 Μήκος κύκλου σε ισχυρό βαρυτικό πεδίο . . . . . . . . . . . . . 109
9.5 Χρόνος που μετρά ο παρατηρητής σε τροχιά γύρω από σφαιρική
μάζα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.6 Μήκος τροχιάς παρατηρητή γύρω από σφαιρική μάζα . . . . . . 112
9.7 ΄Υψος παρατηρητή για ισοχρονία με παρατηρητή στην επιφάνεια . 113
9.8 ΄Υψος πτήσης για ισοχρονία με ακίνητο παρατηρητή . . . . . . . 114
iivi
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
10 Μελέτη της κίνησης των πλανητών γύρω από τον ΄Ηλιο
και η μετάπτωση του περιηλίου του Ερμή 117
10.1 Γεωδαισιακή εξίσωση και εξισώσεις Euler–Lagrange . . . . . . . 117
10.1.1 Εξισώσεις Euler–Lagrange για τις μεταβλητές . . . . . . 119
10.1.2 Απλοποίηση στο ισημερινό επίπεδο . . . . . . . . . . . . 120
10.2 Επίλυση της εξίσωσης κίνησης πλανήτη . . . . . . . . . . . . . 123
10.2.1 Προσέγγιση μέσω θεωρίας διαταραχών . . . . . . . . . . 124
10.2.2 Αριθμητικός υπολογισμός της μετάπτωσης του περιηλίου
του Ερμή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11 Το Σύμπαν του Friedmann: Από τις εξισώσεις του Einstein στις εξισώσεις του Friedmann 135
11.1 Οι εξισώσεις πεδίου και η μετρική
ισότροπου-ομοιογενούς χώρου . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.2 Ο τανυστής ενέργειας–ορμής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
11.3 Οι εξισώσεις του Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.3.1 Η πρώτη εξίσωση Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.3.2 Η δεύτερη εξίσωση Friedmann . . . . . . . . . . . . . . 144
11.3.3 Η τρίτη εξίσωση Friedmann . . . . . . . . . . . . . . . 146
11.4 Από τις εξισώσεις του Einstein στις εξισώσεις του Friedmann:
Συνοπτική επισκόπηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
12 Από τον νόμο του Hubble στη Μεγάλη ΄Εκρηξη και τις
κοσμολογικές παραμέτρους 151
12.1 Το Παράδοξο του Olbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.2 Ο νόμος του Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
12.3 Το μοντέλο της Μεγάλης ΄Εκρηξης
(Big Bang): διαστολή, γεωμετρία και ηλικία του Σύμπαντος . . 156
12.4 Η κρίσιμη πυκνότητα μάζας του Σύμπαντος και η παράμετρος Ω 159
12.5 Η μάζα και η ενέργεια στο Σύμπαν . . . . . . . . . . . . . . . . 162
12.6 Μια πρώτη προσέγγιση στη Σκοτεινή Ενέργεια . . . . . . . . . 165
13 Δομή, Εποχές και Εξέλιξη του Σύμπαντος 167
13.1 Κοσμολογικά μοντέλα: Το «τετριμμένο» Σύμπαν . . . . . . . . 169
13.2 Μεταβολή της πυκνότητας του Σύμπαντος ως συνάρτηση του
παράγοντα κλίμακας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
13.3 Η εποχή της φωτοκρατίας, της υλοκρατίας και της σκοτεινής
ενέργειας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
13.4 Η εξέλιξη του Σύμπαντος ανάλογα με το περιεχόμενό του . . . . 173
13.4.1 ΄Οταν κυριαρχεί η ακτινοβολία: πορεία προς τη συστολή . 174
iii
vii

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
13.4.2 Σενάρια με πολλαπλά συστατικά: ύλη, ακτινοβολία και
σκοτεινή ενέργεια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
13.5 Η μεταβολή του παράγοντα κλίμακας ως συνάρτηση του χρόνου 177
13.6 Πως γνωρίζουμε ότι σήμερα το Σύμπαν διαστέλλεται με επιταχυνόμενο ρυθμό . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
14 Το πληθωριστικό Σύμπαν και τα τρία πρώτα λεπτά 183
14.1 Το πρόβλημα της επιπεδότητας (Flatness Problem) . . . . . . . 185
14.2 Το πρόβλημα του ορίζοντα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
14.3 Ενέργεια κενού και κοσμολογική σταθερά . . . . . . . . . . . . 197
14.3.1 Ενέργεια κενού και αντιβαρύτητα . . . . . . . . . . . . . 199
14.3.2 Η έννοια της κοσμολογικής σταθεράς . . . . . . . . . . 200
14.3.3 Η κοσμολογική σταθερά του Einstein . . . . . . . . . . 202
14.4 Μηχανισμοί αρχικής πληθωριστικής διαστολής . . . . . . . . . . 204
14.4.1 Το «κβαντικό κενό» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
14.4.2 Στοιχεία θεωρίας αλλαγής φάσεων . . . . . . . . . . . . 207
14.5 Οι συνέπειες του πληθωρισμού . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
14.5.1 Πληθωρισμός και μαγνητικά μονόπολα . . . . . . . . . . 213
14.5.2 Πληθωρισμός και παράλληλα σύμπαντα . . . . . . . . . . 216
14.6 Από τα Τρία Πρώτα Λεπτά μέχρι την Κοσμική Ακτινοβολία Υποβάθρου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
15 Κοσμική Ακτινοβολία Υποβάθρου 223
Επίλογος 229