Εισαγωγή στη Θεωρία Κατηγοριών

Πρόλογος xv
1 Απεικονίσεις 1
1.1 Τέσσερις κόσμοι, ένα μοτίβο . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Η σύνθεση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Η ταυτοτική απεικόνιση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Τι δεν είναι απεικόνιση δομής . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Αντιμεταθετικά διαγράμματα . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Ισομορφισμός: πότε δύο αντικείμενα «είναι τα ίδια» . . . . . 9
1.7 Ακόμα ένας κόσμος: μερικώς διατεταγμένα σύνολα . . . . . . 11
1.8 Ένα βήμα πίσω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Δύο νόμοι 21
2.1 Η προσεταιριστικότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Η ταυτοτική απεικόνιση ως νόμος . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Τα μονοπάτια σε γράφημα, ένας νέος κόσμος . . . . . . . . . 24
2.4 Τι σημαίνει παραβίαση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5 Ένας κόσμος, δύο νόμοι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Κατηγορίες 35
3.1 Ο ορισμός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Οι κόσμοι ως κατηγορίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Δύο ακραία παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 Τα μερικώς διατεταγμένα σύνολα ως κατηγορίες . . . . . . . 40
3.5 Hom-σύνολα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6 Ισομορφισμός σε κατηγορία . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.7 Η αντίθετη κατηγορία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
ix
x Περιεχόμενα
3.8 Μονομορφισμοί και επιμορφισμοί . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.9 Αρχικά και τελικά αντικείμενα . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.10 Άλλα παραδείγματα κατηγοριών . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.11 Μικρές και μεγάλες κατηγορίες . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.12 Ο χάρτης της κατηγορίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Σύνοψη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Παραδείγματα σε βάθος 59
4.1 Η κατηγορία Mat𝔽 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Ανοικτά σύνολα ως κατηγορία . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.3 Η κατηγορία Rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.4 Μονοπάτια σε τοπολογικό χώρο . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.5 Σύγκριση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 Συναρτητές 73
5.1 Τρία παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Ο ορισμός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3 Επιλήσμονες συναρτητές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3.1 Πιστοί, πλήρεις και πλήρως πιστοί συναρτητές . . . . 77
5.4 Συναλλοίωτοι και ανταλλοίωτοι συναρτητές . . . . . . . . . . 80
5.5 Οι συναρτητές Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.6 Σύνθεση συναρτητών και η κατηγορία Cat . . . . . . . . . . 84
5.7 Ένα παράδειγμα από την αλγεβρική τοπολογία . . . . . . . . 85
Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6 Φυσικοί Μετασχηματισμοί 95
6.1 Δύο χάρτες, μία χώρα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2 Γιατί γεννήθηκε η θεωρία κατηγοριών . . . . . . . . . . . . . 95
6.3 Από τον έναν συναρτητή στον άλλο . . . . . . . . . . . . . . 96
6.4 Η συνθήκη φυσικότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.5 Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.6 Φυσικός ισομορφισμός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.7 Σύνθεση φυσικών μετασχηματισμών . . . . . . . . . . . . . 100
Περιεχόμενα xi
6.8 Η κατηγορία συναρτητών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.9 Γιατί «φυσικός»; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
7 Ισοδυναμία Κατηγοριών 107
7.1 Το ίδιο, χωρίς να είναι ίδιο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2 Πιστοί, πλήρεις και ουσιωδώς επί . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.3 Ισοδυναμία κατηγοριών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.4 Ο σκελετός μιας κατηγορίας . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.5 Τι σημαίνει «να μην ξεχωρίζεται από μέσα» . . . . . . . . . . 111
Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Ασκήσεις σύνδεσης κεφαλαίων 5–7 . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8 Γινόμενα και Συν-γινόμενα 119
8.1 Καθολικές ιδιότητες: ο ορισμός μέσω της χρήσης . . . . . . . 119
8.2 Το γινόμενο στα σύνολα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.3 Η ίδια ιδέα αλλού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
8.4 Γινόμενο σε κατηγορία και μοναδικότητα . . . . . . . . . . . 121
8.5 Το συν-γινόμενο στα σύνολα . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.6 Δυϊκότητα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.7 Συν-γινόμενο σε κατηγορία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.8 Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.8.1 Η κατηγορία Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.8.2 Η κατηγορία Grp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.8.3 Η κατηγορία Vect𝔽 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.9 Καθολικές ιδιότητες και ισομορφισμός . . . . . . . . . . . . . 127
Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9 Εξισωτές και pullbacks 137
9.1 Γιατί χρειαζόμαστε περισσότερες κατασκευές . . . . . . . . . 137
9.2 Ο εξισωτής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.3 Ο εξισωτής σε αλγεβρικές δομές . . . . . . . . . . . . . . . . 140
9.4 Pullback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
9.5 Ιδιότητες του pullback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
9.6 Pullback και τομή συνόλων . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
xii Περιεχόμενα
9.7 Pushout: μια σύντομη ματιά . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9.8 Ανασκόπηση: γινόμενο, εξισωτής, pullback . . . . . . . . . . 146
9.9 Προετοιμασία για τα όρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10 Όρια 155
10.1 Διαγράμματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
10.2 Κώνοι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
10.3 Ορισμός ορίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
10.4 Γινόμενα ως όρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10.5 Εξισωτές ως όρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.6 Pullbacks ως όρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.7 Κατασκευή ορίων από γινόμενα και εξισωτές . . . . . . . . . 163
10.8 Παραδείγματα: Set και Grp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
10.9 Ένα όριο είναι καθολική λύση συστήματος περιορισμών . . . 167
Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11 Συν-όρια και Πληρότητα 175
11.1 Συν-κώνοι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
11.2 Ορισμός συν-ορίου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.3 Συν-γινόμενα ως συν-όρια . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.4 Pushout ως συν-όριο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.5 Παραδείγματα στα σύνολα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.6 Ο συν-εξισωτής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
11.7 Πλήρεις κατηγορίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
11.8 Συν-πλήρεις κατηγορίες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
11.9 Παραδείγματα: Set και Grp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
11.10Ανακεφαλαίωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
12 Το Λήμμα Yoneda 199
12.1 Πώς περιγράφεται ένα αντικείμενο . . . . . . . . . . . . . . . 199
12.2 Οι συναρτητές Hom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
12.3 Αναπαραστάσιμοι συναρτητές . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
12.4 Φυσικοί μετασχηματισμοί μεταξύ Hom-συναρτητών . . . . . 203
Περιεχόμενα xiii
12.5 Διατύπωση του λήμματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
12.6 Συνέπειες. Αντικείμενα μέσω μορφισμών . . . . . . . . . . . 206
12.7 Η εμφύτευση Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
12.8 Yoneda και καθολικές ιδιότητες . . . . . . . . . . . . . . . . 208
12.9 Το αντικείμενο ως σύνολο των σχέσεών του . . . . . . . . . . 210
Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
13 Συζυγείς Συναρτητές 219
13.1 Η ελεύθερη ομάδα ως παράδειγμα κίνητρο . . . . . . . . . . 219
13.2 Η ίδια δομή αλλού . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
13.3 Ορισμός της προσάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
13.4 Μονάδα μιας προσάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
13.5 Συν-μονάδα μιας προσάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . 223
13.6 Οι ταυτότητες τριγώνου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
13.7 Καθολική ιδιότητα ελεύθερων κατασκευών . . . . . . . . . . 225
13.8 Παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
14 Μονάδες 235
14.1 Κίνητρο: Η μονάδα List . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
14.2 Από προσάρτηση σε μονάδα . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
14.3 Η μονάδα της ελεύθερης κατασκευής . . . . . . . . . . . . . 238
14.4 Άλγεβρες μονάδας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
14.5 Μονάδες και υπολογισμός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
14.6 Η σχέση μονάδων και προσαρτήσεων . . . . . . . . . . . . . 243
Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
15 Προ-δράγματα 251
15.1 Η ανταλλοίωτη δράση του Hom . . . . . . . . . . . . . . . . 251
15.2 Τρία παραδείγματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
15.3 Ορισμός και κατηγορία προ-δραγμάτων . . . . . . . . . . . . 254
15.4 Η εμφύτευση Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
15.5 Το Λήμμα Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
15.6 Αναπαραστάσιμα προ-δράγματα . . . . . . . . . . . . . . . 258
Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
xiv Περιεχόμενα
16 Επίλογος: Πού φτάσαμε και πού μπορούμε να πάμε 265
16.1 Η κόκκινη κλωστή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
16.2 Τι δεν καλύψαμε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
16.3 Πού να συνεχίσετε . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
16.4 Μια τελευταία παρατήρηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
Αʹ Απεικονίσεις και Δομές 269
Αʹ.1 Δομές και οι απεικονίσεις τους . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Αʹ.1.1 Ομάδες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Αʹ.1.2 Διανυσματικοί χώροι . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Αʹ.1.3 Τοπολογικοί χώροι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
Αʹ.2 Ομομορφισμός: το γενικό σχήμα . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Αʹ.3 Ισομορφισμός . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Αʹ.4 Μονομορφισμός και Επιμορφισμός . . . . . . . . . . . . . . 273
Αʹ.5 Ενδομορφισμός και Αυτομορφισμός . . . . . . . . . . . . . . 273
Αʹ.6 Έρριψη, Επίρριψη και Αμφίρριψη . . . . . . . . . . . . . . . 274
Αʹ.7 Βασικές έννοιες τοπολογικών χώρων . . . . . . . . . . . . . . 275
Αʹ.7.1 Νηματικές δέσμες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Βιβλιογραφία 281