ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ (ΤΟΜΟΣ ΙΙ)

Δεν φαίνεται να υπάρχη γενική συμφωνία ως προς το τι πρέπει να αποτελή μια πρώτη εισαγωγή στην Ανάλυση και την Αναλυτική Γεωμετρία. Μερικοί επιμένουν ότι ο μόνος τρόπος για την πραγματική κατανόηση της Ανάλυσης είναι το ξεκίνημα από μια πλήρη πραγμάτευση του συστήματος των πραγματικών αριθμών και η ανάπτυξη κατόπι της θεωρίας, βήμα προς βήμα και κατά αυστηρά λογικό τρόπο. Άλλοι πάλι ισχυρίζονται ότι η Ανάλυση είναι πρωταρχικά ένα εργαλείο για μηχανικούς και για φυσικούς και πιστεύουν ότι η εισαγωγή αυτή πρέπει να δίνει έμφαση στις εφαρμογές της Ανάλυσης, με τη βοήθεια της διαίσθησης και με εντατική εξάσκηση σε προβλήματα τα οποία αναπτύσσουν την επιτηδειότητα και ευστροφία στον χειρισμό διάφορων φυσικών προβλημάτων που παρουσιάζονται στις πρακτικές εφαρμογές.
Και οι δυο αυτές απόψεις έχουν πολλά τα ορθά. Η Ανάλυση είναι μια επαγωγική επιστήμη και ένας από τους κλάδους των καθαρών μαθηματικών. Ταυτόχρονα όμως έχει ρίζες βαθιές στα φυσικά προβλήματα και μεγάλο μέρος από τη δύναμη και την ομορφιά της την οφείλει στην ποικιλία των εφαρμογών της. Είναι εξ άλλου δυνατό να συνδυαστή μια έντονα θεωρητική ανάπτυξη με μια πολύ καλή τεχνική εξάσκηση και το βιβλίο αυτό παρουσιάζει μια τέτοια προσπάθεια, για μια σωστή ισορρόπιση ανάμεσα στις δυο αυτές επιδιώξεις. Μολονότι πραγματεύεται την Ανάλυση σαν μια επαγωγική επιστήμη, δεν παραμελεί και τις εφαρμογές της στα φυσικά προβλήματα.
Οι αποδείξεις όλων των σημαντικών θεωρημάτων παρουσιάζονται σαν ουσιαστικό μέρος της ανάπτυξης των μαθηματικών ιδεών και συχνά προηγούνται σ’ αυτές γεωμετρικές ή εμπειρικές ερμηνείες τους, ώστε να μπορή ο σπουδαστής να κατανοή το λόγο για τον οποίο παίρνουν οι ιδέες αυτές ειδικές μορφές. Και μόλο που οι εμπειρικές αυτές ερμηνείες και διερευνήσεις μπορούν να επαρκούν για τους αναγνώστες που δεν τους ενδιαφέρουν λεπτολογημένες αποδείξεις, αυτός δεν είναι λόγος να μη δίνωνται και οι πλήρεις αποδείξεις, για εκείνους που προτιμούν τις αυστηρές δικαιολογήσεις των διάφορων θεωρημάτων.