Είναι γνωστό ότι με τον όρο “Πραγματική Ανάλυση” δεν εννοούμε πλέον την περιοχή των μαθηματικών που έχει ως αντικείμενο τη θεωρία των συναρτήσεων μιας ή πολλών μεταβλητών αλλά διάφορα εδάφια (ως επί το πλείστον αφηρημένα) της Μαθηματικής Ανάλυσης. Η “Πραγματική Ανάλυση” ή “Αφηρημένη Ανάλυση” ή ακόμα και “Μοντέρνα Ανάλυση”, που διδάσκεται σ’ όλα τα μαθηματικά τμήματα των Πανεπιστημίων είτε ως υποχρεωτικό, είτε ως μάθημα επιλογής, αποτελεί ένα μάθημα αυστηρά θεμελιωμένης μαθηματικής ανάλυσης που δίνει γενικεύσεις γνωστών εννοιών πολλές από τις οποίες συνετέλεσαν στην αλματώδη ανάπτυξη αυτού του τομέα των μαθηματικών. Η “Πραγματική Ανάλυση” δεν περικλείει ένα απόλυτα καθορισμένο περιεχόμενο με αποτέλεσμα στη σχετική βιβλιογραφία να παρατηρείται μια ποικιλία εννοιών.
Σκοττός του βιβλίου είναι να βοηθήσει τους φοιτητές των μαθηματικών τμημάτων, αφενός να κατανοήσουν τις βασικές και κεντρικές έννοιες του εν λόγω μαθήματος (μετρικούς χώρους, συμπάγεια, ειδικά σύνολα, μετρήσιμες συναρτήσεις, μέτρα, ολοκλήρωμα Lebesgue κ.τ.λ. κ.τ.λ.) και αφετέρου να αποκτήσουν μια εμπειρία στην επίλυση των σχετικών ασκήσεων.
Το βιβλίο περιέχει τους βασικούς ορισμούς και τα βασικά θεωρήματα που αποτελούν τον κορμό της Πραγματικής Ανάλυσης και (το σπουδαιότερο) πέντε ομάδες θεμάτων. Τα θέματα της κάθε ομάδας καλύπτουν ένα ευρύ φάσμα συναφών με την αντίστοιχη επικεφαλίδα εννοιών. Ένα μέρος των θεμάτων αυτών έχει κατασκευασθεί από το συγγραφέα του βιβλίου, αρκετά θέματα έχουν επιλεγεί από την ελληνική και ξένη βιβλιογραφία, ενώ περιέχονται και θέματα που δόθηκαν σε προπτυχιακές και κατατακτήριες εξετάσεις μαθηματικών τμημάτων ελληνικών και ξένων Πανεπιστημίων.
Από τη θέση αυτή θέλω να ευχαριστήσω την κόρη μου μαθηματικό Ρούλα Σπανδάγου για τη μεγάλη βοήθειά της στην κατασκευή ή διασκευή πολλών ασκήσεων, στη διόρθωση των χειρογράφων, καθώς και για τις εύστοχες υποδείξεις της. Επίσης ευχαριστώ τον ερευνητή – μαθηματικό (διδάκτορα του Πανεπιστημίου του Berkeley) κ. C. Gipsou που είχε την ευγενική διάθεση να μου στείλει σχετικά θέματα που έχουν δοθεί στα Μαθηματικά τμήματα των κυριοτέρων Πανεπιστημίων των Η.Π.Α. (Harvard, Princeton, Berkeley, Yale, Chicago, M.I.T., Stanford κ.ά.)
Αθήνα, Ιανουάριος 2007, Βαγγέλης Σπανδάγος