ΠΡΟΛΟΓΟΣ i
1 Εξισώσεις πρώτης τάξης 1
1.1 Ορισμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Εξισώσεις χωριζόμενων μεταβλητών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Γραμμικές εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Περιοδικές εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Εξισώσεις Bernoulli και Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.1 Εξίσωση του Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.2 Εξίσωση του Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6 Εξισώσεις ομογενείς και αναγόμενες σε ομογενείς . . . . . . . . . . . . 25
1.6.1 Ομογενείς εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.6.2 Εξισώσεις που ανάγονται σε ομογενείς . . . . . . . . . . . . . . 29
1.7 Εξισώσεις δεύτερης τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.8 Ακριβείς εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.9 Συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.9.1 Το σύστημα Lotka–Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.9.2 Χαμιλτονιανά συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.10 Οι νόμοι του Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
1.11 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2 Τα βασικά θεωρήματα 83
2.1 Η άλλη αντίληψη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.2 Μέθοδοι Picard και Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.2.1 Προσεγγίσεις Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.2.2 Προσεγγίσεις Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.2.3 Σύγκλιση προσεγγίσεων Picard – Θεώρημα τοπικής ύπαρξης PicardLindel¨of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.3 Ανισότητα του Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.4 Συνεχής εξάρτηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
2.5 Το θεώρημα της πεπλεγμένης συνάρτησης . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
2.6 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
v
vi ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
3 Ποιοτική θεωρία 117
3.1 Πληθυσμιακά μοντέλα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.1.1 Το μοντέλο του Malthus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.1.2 Το μοντέλο Verhulst ή λογιστικό μοντέλο . . . . . . . . . . . . 118
3.1.3 Ποιοτική ανάλυση του λογιστικού μοντέλου . . . . . . . . . . . . 119
3.2 Διαγράμματα φάσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.3 Γραμμικοποίηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.4 Δυναμικά συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.5 Το διανυσματικό πεδίο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.6 Διακλαδώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.7 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4 Γραμμικές με Σταθερούς Συντελεστές 153
4.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.2 Η ομογενής εξίσωση τάξης 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.2.2 Γενική λύση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.3 Γραμμική ανεξαρτησία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
4.4 Η μη ομογενής εξίσωση τάξης 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.5 Μέθοδος Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.6 Η ομογενής εξίσωση τάξης n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
4.6.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.6.2 Γενική λύση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
4.6.3 Η εξίσωση του Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
4.7 Η μη ομογενής εξίσωση τάξης n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.8 Μέθοδος Απροσδιόριστων Συντελεστών . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.9 Μηχανικές Ταλαντώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
4.9.1 Ελεύθερη αρμονική ταλάντωση χωρίς τριβή . . . . . . . . . . . . 196
4.9.2 Ελεύθερη αρμονική ταλάντωση με τριβή . . . . . . . . . . . . . . 197
4.9.3 Εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.10 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
5 Μέθοδος δυναμοσειρών 207
5.1 Δυναμοσειρές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
5.2 Ομαλά σημεία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.3 Εξίσωση Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.4 Κανονικό ιδιάζον σημείο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.5 Εξίσωση Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.6 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
6 Γραμμικά συστήματα 251
6.1 Ορισμοί, ΄Υπαρξη–Μονοσήμαντο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.2 Ομογενείς γραμμικές εξισώσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
6.3 Ο τύπος της μεταβολής των παραμέτρων . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.3.1 Η γενική περίπτωση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ vii
6.3.2 Η εκθετική συνάρτηση e
At . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
6.3.3 Το συζυγές πρόβλημα, εφαρμογές στα περιοδικά συστήματα . . . 277
6.4 Συναρτήσεις Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
6.5 Γραμμικές εξισώσεις τάξης n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.5.1 Υποβιβασμός τάξης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.6 Σταθεροί συντελεστές Ι: Πίνακες διαγωνοποιήσιμοι . . . . . . . . . . . . 294
6.7 Σταθεροί συντελεστές ΙΙ: Πίνακες μη απλής δομής . . . . . . . . . . . . 313
6.7.1 Γενικός τρόπος λύσης ομογενούς συστήματος . . . . . . . . . . 325
6.8 Περιοδικά γραμμικά συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.9 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
7 Εξισώσεις διαφορών 359
7.1 Γραμμικά συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
7.2 Γραμμική εξίσωση διαφορών τάξης n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
7.3 Διακριτοποίηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
7.4 Ευστάθεια διακριτοποιημένου συστήματος . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
7.5 Μη αυτόνομα συστήματα διακριτού χρόνου . . . . . . . . . . . . . . . . 375
7.6 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383
8 Μετασχηματισμός Laplace 385
8.1 Ολοκληρωτικοί μετασχηματισμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
8.2 Παρατηρήσεις στο Μετασχηματισμό Laplace . . . . . . . . . . . . . . . 390
8.3 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
8.4 Ασυνεχείς Συναρτήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
8.5 Συναρτήσεις ΄Ωθησης και Δέλτα. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
8.6 Συνελίξεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
8.7 Ποιοτική θεωρία του μετασχηματισμού Laplace . . . . . . . . . . . . . . 426
8.8 Λύση συστημάτων με μετασχηματισμό Laplace . . . . . . . . . . . . . . 431
8.9 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
9 Αρχή Μεγίστου και Θεωρία Sturm 437
9.1 Η αρχή του μεγίστου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
9.2 Θεωρήματα Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
9.3 Ο μετασχηματισμός του Pr¨uffer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
9.4 Πρόβλημα ιδιοτιμών Sturm–Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
9.5 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
10 Το Επίπεδο Φάσης 471
10.1 Αυτόνομα Γραμμικά Συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
10.1.1 Το επίπεδο φάσης. Ταξινόμηση σημείων ισορροπίας . . . . . . . 471
10.1.2 Περίπτωση 1. Πραγματικές διακεκριμένες ιδιοτιμές . . . . . . . . 472
10.1.3 Περίπτωση 2. Μιγαδικές ιδιοτιμές . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
10.1.4 Περίπτωση 3. ΄Ισες ιδιοτιμές (Νόθος κόμβος) . . . . . . . . . . 483
10.1.5 Περίπτωση 4. Μηδενική ιδιοτιμή . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
10.1.6 Περίπτωση 4. Ευστάθεια μέσω ιδιοτιμών . . . . . . . . . . . . . 493
viii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
10.2 Καμπύλες στάθμης – Η εξίσωση του Νεύτωνα . . . . . . . . . . . . . . 496
10.2.1 Το Μηχανικό ανάλογο του σφαιριδίου . . . . . . . . . . . . . . . 498
10.2.2 Η Αυστηρή αιτιολόγηση – Το Λήμμα του Morse . . . . . . . . . 501
10.2.3 Μη κρίσιμες καμπύλες στάθμης – Περιοδικές τροχιές . . . . . . . 506
10.2.4 Κρίσιμες Καμπύλες Στάθμης – Ομοκλινείς και Ετεροκλινείς Τροχιές . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
10.3 Γενικά συστήματα στο επίπεδο . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
10.4 Θεωρήματα ύπαρξης – μονοσήμαντου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
10.5 Η αρχή της γραμμικοποίησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
10.6 Συστήματα κλίσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
10.7 Συστήματα κλίσης και Χαμιλτονιανά . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
10.8 Η δεύτερη μέθοδος του Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
10.9 Τοπολογικά Δυναμικά Συστήματα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
10.10Το Θεώρημα των Poincar´e και Bendixson . . . . . . . . . . . . . . . . . 567
10.11Ευσταθείς – ασταθείς πολλαπλότητες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
10.12Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589
Βιβλιογραφία 601
Ευρετήριο 605