Mathematics for International Baccalaureate
Volume 2
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Σχήμα

Contents
1 A collection of basic formulae 1
1.1 Binomial formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Geometric formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.3 Trigonometric formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Exponential & logarithmic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Plane Analytical Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7 3-dimensional Analytical Geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7.1 Generic equation of a plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8 Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Formulae and examples on Statistics & Probabilities 29
2.1 Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Some practice now . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3 Sample Space & Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.1 Binomial (Bernoulli) distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.2 Normal Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3 Combinatorics & Probability 69
3.1 Basic principles of enumeration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.1 Addition or summation principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.1.2 Multiplication or product principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.3 Rearrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.4 Permutations & permutations with repetitions . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.5 Combinations & combinations with repetitions . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.6 Some problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2 Probabilities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.1 Basic concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.2 Conditional probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.3 Total Probability and Bayes’ Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.4 Independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2.5 Discrete & continuous random variables and probability distributions 91
3.2.6 The binomial distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2.7 The Poisson distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.2.8 The hyper-geometric distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.2.9 The normal distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.3 Problems & Exercises for IB on combinatorics – probabilities . . . . . . . . . 102
4 Various problems & exercises 139
4.1 Vector calculus and analytic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.2 Rate of change problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
4.3 Graphs of trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.4 Separable variables and homogeneous equations . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4.1 Separable equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4.2 Homegeneous equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
4.4.3 Linear di erential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.5 Analytic geometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.5.1 Planes and Lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.5.2 Scalars and vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.6 Some examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.6.1 A few more examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4.6.2 Working with complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
5 Integral Calculus 189
5.1 Inde nite Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.1.1 Basic formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
5.2 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.2.1 Integration using basic formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
5.2.2 Integrals of rational functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
5.2.3 Exercises from examinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
5.3 Trigonometric Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.4 Integration by parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5.4.1 Inductive formulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
5.5 Integration by change of variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5.5.1 Some important cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
5.6 Few more important applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.6.1 Length of a curve arc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.6.2 Area of domains determined by curves . . . . . . . . . . . . . . . . .