ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ
- +
Τελική τιμή: 13,50€
Αρχική τιμή: 15,00€ Έκπτωση -10% (1,50€)
Κερδίσατε Δωρεάν μεταφορικά για αγορές 30€ και άνω! Δείτε το καλάθι σας εδώ
Βάρος 0,750 kg
Είδος

Έκδοση

Εκδότης

Έτος έκδοσης

ISBN

Μήνας έκδοσης

Σελίδες

Σχήμα

Το παρόν βιβλίο παρουσιάζει μια εισαγωγή στα βασικότερα θέματα με τα οποία ασχολείται η Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα. Παράλληλα, περιγράφει και την υλοποίηση των Επιστημονικών Υπολογισμών που απαιτούνται υποδεικνύοντας τον καταλληλότερο αλγόριθμο. Κάθε προτεινόμενος αλγόριθμος αναλύεται από πλευράς πολυπλοκότητας και ευστάθειας και επεξηγείται με αριθμητικά παραδείγματα. Το βιβλίο είναι το αποτέλεσμα της πολύχρονης διδασκαλίας του μαθήματος της Αριθμητικής Γραμμικής Άλγεβρας στο Τμήμα Μαθηματικών του Εθνικού και Καποδιστριακού Πανεπιστημίου Αθηνών. Η παρουσίαση της ύλης έχει αναπτυχθεί κατάλληλα ώστε να αποτελεί κίνητρο μελέτης για φοιτητές/σπουδαστές σε τμήματα Μαθηματικών, Πληροφορικής, Πολυτεχνικών Σχολών, Στατιστικής αλλά και άλλων
συναφών τμημάτων.

Ιδιαίτερη έμφαση έχει δοθεί στα ακόλουθα σημεία.

1. Αναλυτική παρουσίαση της αριθμητικής κινητής υποδιαστολής
2. Ανάπτυξη της θεωρίας ανάλυσης σφάλματος
3. Εκτεταμένη παρουσίαση των παραγοντοποιήσεων πινάκων
4. Ελάχιστα τετράγωνα και κανονικοποίηση Tikhonov
5. Εισαγωγή στους υπολογισμούς υψηλής κλίμακας και τις μεθόδους Krylov
6. Παρουσίαση εργαστηρίου επιστημονικών υπολογισμών.

Μια καινοτομία του παρόντος βιβλίου είναι η παρουσίαση επιλεγμένων επιστημονικών υπολογισμών στη γλώσσα προγραμματισμού JULIA. Η συγκεκριμένη γλώσσα είναι ιδιαίτερα φιλική για υπολογισμούς με πίνακες και είναι ελεύθερα διαθέσιμη (λογισμικό ανοιχτού κώδικα). Αξίζει να σημειωθεί ότι το 2019, το υψηλού κύρους βραβείο “J. Wilkinson Prize for Numerical Software” απονεμήθηκε σε ερευνητές που συντέλεσαν στην ανάπτυξή της.

Περιεχόμενα v
Πρόλογος ix
Συμβολισμοί xi
Ειδική Ορολογία xii
Εισαγωγή xiii
1 Βασική Αριθμητική Υπολογιστή 1
1.1 Ψηφιακοί υπολογισμοί . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Υπολογισμοί σταθερής υποδιαστολής . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Υπολογισμοί κινητής υποδιαστολής . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Αριθμοί μηχανής . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Αποθήκευση αριθμών κινητής υποδιαστολής . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Παράσταση των αριθμών του M . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2.3 Εκτέλεση πράξεων σε αριθμητική κινητής υποδιαστολής . . . 21
1.3 Αριθμητικά αποτελεσματικοί αλγόριθμοι . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.1 Ανάλυση πολυπλοκότητας και μνήμης βασικών αλγορίθμων . 25
1.4 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Θεωρία Ανάλυσης Σφάλματος 39
2.1 Μορφές της ανάλυσης σφάλματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Σφάλματα στρογγύλευσης σε αριθμητικούς υπολογισμούς . . . . . . 41
2.2.1 Υπολογισμός γινομένου . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2.2 Υπολογισμός αθροίσματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.3 Υπολογισμός εσωτερικού γινομένου . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3 Σφάλματα στρογγύλευσης σε υπολογισμούς με πίνακες . . . . . . . . 50
2.3.1 Ανάλυση σφάλματος πράξεων με πίνακες . . . . . . . . . . . 51
v
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ vi
2.3.2 Ορθογώνιοι πίνακες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Παραγοντοποίηση LU 69
3.1 Μετασχηματισμοί Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.1 Απαλοιφή Gauss χωρίς οδήγηση . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2 Μετασχηματισμοί Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.2.1 Απαλοιφή Gauss-Jordan χωρίς οδήγηση . . . . . . . . . . . . 82
3.3 Απαλοιφή Gauss με οδήγηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.3.1 Μεταθετικοί πίνακες . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3.2 Gauss με μερική οδήγηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3.3 Gauss με ολική οδήγηση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.4 Ανάλυση σφάλματος της απαλοιφής Gauss . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.5 Μελέτη του συντελεστή μεγέθυνσης . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.6 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
4 Παραγοντοποιήσεις Πινάκων Ειδικής Μορφής 115
4.1 Τριγωνική διαχώριση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1.1 Απαλοιφή Gauss και τριγωνική διαχώριση . . . . . . . . . . 118
4.2 Ανάλυση σφάλματος της τριγωνικής διαχώρισης . . . . . . . . . . . . 118
4.2.1 Υπολογισμός ορίζουσας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.3 Περιορισμός μεγέθους πίνακα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.4 Ειδικές μορφές πινάκων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.5 Παραγοντοποίηση Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.6 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5 Ορθογώνιες Παραγοντοποιήσεις Πινάκων 149
5.1 Βασικές έννοιες ορθογωνιότητας . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.2 Παραγοντοποίηση QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
5.3 Μετασχηματισμοί Householder για μη τετραγωνικό πίνακα . . . . . . 159
5.4 Ορθογωνοποίηση Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.5 Ανάλυση ιδιαζουσών τιμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.5.1 Το θεώρημα ανάλυσης ιδιαζουσών τιμών . . . . . . . . . . . 173
5.5.2 Η SVD και η δομή ενός πίνακα . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
5.6 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
6 Αριθμητική Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων 189
6.1 ΄Αμεσες μέθοδοι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
6.1.1 Επίλυση άνω τριγωνικού συστήματος . . . . . . . . . . . . . 190
6.1.2 Επίλυση κάτω τριγωνικού συστήματος . . . . . . . . . . . . . 190
6.1.3 Αριθμητικές μέθοδοι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ vii
6.1.4 Επίλυση θετικά ορισμένου γραμμικού συστήματος . . . . . . 201
6.1.5 Επίλυση γραμμικού συστήματος με πολλαπλό δεξιό μέλος . . 202
6.2 Ευστάθεια και κατάσταση προβλημάτων . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6.2.1 Δείκτης κατάστασης πίνακα . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
6.3 Ανάλυση ευαισθησίας γραμμικών συστημάτων . . . . . . . . . . . . . 210
6.4 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
7 Ελάχιστα Τετράγωνα 223
7.1 Υπερκαθορισμένο ΓΠΕΤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
7.1.1 Η μέθοδος των κανονικών εξισώσεων . . . . . . . . . . . . . 227
7.1.2 Householder παραγοντοποίηση QR . . . . . . . . . . . . . . 228
7.1.3 Ορθογωνοποίηση MGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
7.1.4 Παραγοντοποίηση SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
7.2 Υποκαθορισμένο ΓΠΕΤ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
7.2.1 Householder παραγοντοποίηση QR . . . . . . . . . . . . . . 233
7.2.2 Παραγοντοποίηση SVD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
7.3 Κανονικοποιημένα ελάχιστα τετράγωνα . . . . . . . . . . . . . . . . 235
7.3.1 Κανονικοποίηση SVD με αποκοπή . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.3.2 Κανονικοποίηση Tikhonov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
7.4 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
8 Αριθμητικός Υπολογισμός Ιδιοτιμών 247
8.1 Η βασική QR-επανάληψη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
8.2 Πίνακες Hessenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
8.3 Αλγόριθμος αναγωγής Householder-Hessenberg . . . . . . . . . . . 257
8.4 Τριδιαγώνια αναγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
8.5 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
9 Υπολογισμοί Υψηλής Κλίμακας 263
9.1 Επαναληπτικές μέθοδοι . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.1.1 Σύγκλιση επαναληπτικής μεθόδου . . . . . . . . . . . . . . . 264
9.1.2 Δημιουργία επαναληπτικού σχήματος . . . . . . . . . . . . . 266
9.2 Μέθοδοι Krylov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
9.2.1 Μέθοδος Arnoldi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
9.2.2 Μέθοδος Lanczos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
9.2.3 Επίλυση γραμμικού συστήματος με τη μέθοδο Arnoldi . . . . 280
9.3 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ viii
Παράρτημα
Α Εργαστήριο Επιστημονικών Υπολογισμών 289
Α.1 Λογισμικό για προβλήματα με πίνακες . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
Α.2 Εφαρμογές στη Julia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
Β Συστήματα αριθμών 315
Β.1 Μετατροπές αριθμών σε διαφορετικά συστήματα αρίθμησης . . . . . . 316
Β.2 Ασκήσεις . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
Β.3 Εργαστήριο – Μετατροπές βάσης και απώλεια ακρίβειας . . . . . . . . 323
Β.3.1 Η κύρια αιτία του προβλήματος . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Β.3.2 Παρουσίαση προγράμματος . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Βιβλιογραφία 329
Ευρετήριο ΄Ορων 333